数学分析论文已改.doc

贵阳学院 学院:专业: 学院: 专业: 学号:姓名: 数学与应用数学 史开端090501401037 史开端 指导教师：姚廷富 探讨求极限的若干方法 引言：极限是数学中一项常用的“工具”，是学习数学必要掌握的方法之一, 下面我们就来探讨一下求极限的几种方法：夹逼原理.常用极限法、等价无穷 小量与无穷大量法则、洛比达法则、泰勒公式替代法、定积分法、连续性法。 求极限有很多方法，还有有关级数方面的求法等，在此不作讨论。 1、夹逼原理求极限⑴ 夹逼原理:设数列｛a\, ｛/?〃｝,匕｝满足 an bn cn,且 liman =limcw - a^ 则lim仇=a 例题：求（1） lim丄（1 +迈+ ??? +丽）; lim 1 1 1 ~I = + ~f ~ + ■ ■ ■ + ~r ~ V/72 + 1 J/ +2 yjn2 + 〃 丿 入ts 2x4x6x---x2? （1）因为-（1 + 1 l）v-（1 + V^ -+ y/~H d F j 丄（1+迈+…+丽）v丽；而lim席=1；所以由夹逼原理得： n V / x-s 即lv? n、 lim丄（1 +迈+ ??? +丽）=1 X-KC n \ ） （2）因为-JL—— -7=j= + f-;—— y/n2 +n y/n2 + 1 +2 1 1 n H F ? —== J n2 +/t J n‘ +1 而 lim / = 1,所以 lim  — —+ — + ■ ? ? + — + 1 J/ +2 J『+ n 丿 2/?-1In⑶ Ix3x5x...x（2z?-l）=lx3x5x^ 2/?-1 In 2x4x6x-..x2n 2 4 6 llllPZ- I 2 4 2? - 2 2 4 2n 则勺—X —X —X---X u —X —X---X 2 3 5 2n-i n 3 5 2n + l 将不等式同乘呱得Hr承召；即有丘“禽 而 lim —t= = lim 〔 ■ = 0 i n f2n + \ Ix3x5x???x(2 一 1) 因 Jl 匕 lim L =() x* 2 x 4 x 6 x ? ? ? x 2/? 2、常用极限法 常用极限：(1) lim忙 2° X 1 ； (2) lim 1 + — 兀丿 例题：求(1) lhnl_C0SA A-0 :(2) limfcos^f 兀丿 解(1) lim xt() 1 一 COS X 7 JT =lim x-() (2) lim /?—OC 、川 cos — n丿 lim 1 X—0C 2 / 兀 + cos — n im 1+ cos- 2sin2- 2 n 乂因为 limn2 n-oc COS--1 n ) -lim 2 sin — l 2n丿 I n 6m 2 Tcc / 、 ?兀sin——2n 7C 2n 所以lim “TOC \n 71cos — 〃丿 3、等价无穷法求极限⑵ 等价无穷小量：若lim如=1 则称/与g是当x-x0时的等价无穷小量。 当兀TO 当兀TO时，常用等价无穷小: (i ) 。丫一1 ?兀；Qi ) ln(l + x)?兀； 1 9 , (iii) sinx-x； (v ) 1 -cosx ?二兀?；(v)(1 + 兀)一 1 ?ax 例题：求（1 ） limx-?（）ln(l-3x3)V 7 ； (2) limx-0e2x 一 l) sinxa/1 例题：求（1 ） limx-?（） ln(l-3x3) V 7 ； (2) limx-0 e2x 一 l) sinx a/1 + tanx -Vl + sinx xln(l + x)-F In M (1) limx-0 ——-—=lim(幺一I) sin兀 v_0 -(2x)2x 4 (2) .. 71 + tanx -Vl + sinx limktO xln(l + x)-x2 =limxtO tan x-sinx(J1 +tanx + Jl + sinx)[x ln(l + x)-x2 = lim . z (71 +tan x + Vl + sinx Icosx o 1 r X2 0 1 r 2x =_ lim —7 =-lim—4 go g (1 + x) - x 4 go ] x2 lim 5兀 sinx(l-cosx) 1 ln(l + x)-x =-x lim —2 5 x 1 2 xx — x2 ln(l + x)-x 1 r \ I —=——lim 1 + x =——_j 2 7 2l + x~ 4、洛比达法则求极限⑶ 洛比达法则：设：（I）当XTQ时，函数/^及心）都趋于零； ⑵在点a的去心邻域内，彳：）及片；）都存在且％）HO； f f （3）当兀Ta时lim』