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传染病的传播 摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理 性与实用性。血后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不妥Z处。并在对问题 进行较为全而评价的基础丄引入更为全而合理的假设和建立系统分析模型。运用联立微分 方程组体现疫情发展过程屮各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法结合 MATLAB编程（程序在附件二）拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。同吋运用双 线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一个真正能够预测以 及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难本文的最后，通过本次建 模过程屮的切身体会，说明建立如SARS预测模型Z类的传染病预测模型的重要意义。 关键词：微分方程 SARS 数学模型 感染率 1问题的重述 SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome,严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺 炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展 和人民生活带來了很大影响，我们从屮得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究 传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS的传播 建立数学模型，具体要求如下： 1） 建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。 2） 建立你们自己的模型，说明为什么优于指数模型；特别要说明怎样才能建立一个真 正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对 于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传 播所造成的影响做出估计。附件1提供的数据供参考。 3） 说明建立传染病数学模型的重要性。 2定义与符号说明 N 表示为SARS病人的总数； K （感染率） 表示为平均每天每人的传染他人的人数; L 表示为每个病人可能传染他人的天数； 力N（t） 表示为每天（单位时问）发病人数; N（t）-N（t-L） 表示可传染他人的病人的总数减去失去传染能力的病 人数； _ t 表示时间； 表示拟合的均方差; 3建立传染病传播的指数模型 3.1模型假设 1） 该疫情有很强的传播性，病人（带菌者）通过接触（空气，食物，……）将病菌 传播给健康者。单位时问（一天）内一个病人能传播的人数是常数k； 2） 在 所传染的人肖屮不考虑已治愈的人是否被再次被传播，治愈的人数占该地区的 总人数是绝对的少数，治愈者不会再被传播并不影响疫情在该时间内的感染率常数k; 3） 病者在潜伏期传播可能性很小，仍按健康人处理； 4） SARS对不同的年龄组的感染率略有不同（相差不大），但我们只考虑它健康人的感 染率是一样的； 5） 我们所采取的隔离是非常严格的，被隔离的病人不会再感染其他人； 2模型的分析和建立求解 全国疫情从出现第一例病人起，到4月20日前后（从起点起45天左右）是疫情高峰, 在此之前k值我们取k=0.16204,在此后的吋间里我们取k=0. 0273来计算。根据提供的数 据可以建立指数模型：N（t）= no（l+K）。 在前45天我们取k=0. 16204来代入,分别算出45天的病人累计数,根据45天中 天病人的数量来画岀图1,并与附件屮所提供的数据屮的H累计数来进行了比较。 如图3-1所示： 图：3-1根据指数模型建立的图形1201000 =40I I 2 月 图：3-1根据指数模型建立的图形 120 1000 = 40 I I 2 月 1511 起 10- 图3-2根据附件1所建立的图形 从两个图形屮，我们可以看出，从4月20日开始计算，前45天的病人累计数和我们 用k的值来代入模型画出的病人计算数基本上是吻合的。图形1屮的横坐标数字表示吋 间的天数，如15即4月20日之后的第15天，40即4月20日之后的第40天。 在45天之后的吋间里，模型对k的值进行了调整，k二0.0273,我们再将k=0.0273代 入模型N(t)= n()(l+K)『，在45天之后的吋间里，我们取了 30天的时间，分别算出每天 的病人累计数，如图3-3所示： 全国人数变化 图3-3 3对指数模型的验证和评价 在图形3-3屮的横坐标的数值表示图形1屮所表示的天数之后的天数，如1即表示4 月15日之后的45天之后的有第六天，也就是4月15日之后的第51天，即表示4月15 HZ后的第67天。 首先在图形3-3结合图形3-1可以看出，图形3-1屮的第45天与图形2屮的第一天(相 隔一天)的人数统计是相差比较大的，存在这种情况的原因是在我们在计算第61天，数 据值发牛了改变，从0. 16204到0.0273是一个很大的变化，而在实际的生活屮的情况是k 值每天都在进行数值在减小的改变，但改变的没有