数学公理化方法的意义和作用.doc

攵学公理化方法的意义和作用 2008-9-27 16:06:49 ——摘自《徐利治谈数学哲学》 公理化方法在近代数学的发展屮起过巨大的作丿II，可以说，它对备门现代数学都冇极具 深刻的影响.即使在数学教学中，公理化方法也是一个十分重要的方法. 所谓公理化方法（或公理方法），就是从尽可能少的无定义的丿泉始概念（基木概念）和一组 不证自明的命题（基本公理）出发，利用纯逻辑推理法则，把…门数学理论构造成为演绎系统 的一种方法.所谓基木概念和公理，当然必须反映数学实体对彖的最单纯的本质和客观关系 而并非人们自由意志的随意创造. 众所周知，Ililbert 1899年出版的《几何学基础》一书是近代数学公理化的典范著作.该 书在问世后的二三十年间曾引起西方数学界的一阵公理热,足见其影响之大.Hilbert的几 何公理系统实际上是在前人的一一系列T作成果基础上总结出来的，书中的公理条H也曾屡 经修改.肓到1930年出第七版时，还作了最后?修改.这说明…门学科的公理化未必是一次 完成的，公理化过程是可以包含着一些发展阶段的. 谈到数学公理化的作用，至少可以举出如下四点： （1）这种方法具冇分析、总结数学知识的作川.凡取得了公理化结构形式的数学，rti-T 定理与命题均已按逻辑演绎关系串联起来，故使用起来也较方便. ⑵公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚绽，这就冇利丁?比较各门数学的实质性异同, 并能促使和推动新理论的创 （3）数学公理化方法在科学方法论上冇示范作用.这种方法对现代理论力学及备门自然科学 理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用.例如，20 lit纪40年代波兰的Banach曾完成了 理论力学的公理化，而物理学家亦把相对论表述为公理化形式…… （4）公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性和结构的和谐性确实符合美学上的要求, 因而为数学活动屮贯彻审美原则提供了范例 数学公理化方法 2007-09-19 23:30 § 2数学公理化方法 公理化方法在近代数学的发展屮起过巨大的作用，它对于各门现代数学都有 极其深刻的影响.公理化方法是数学研究的一种基本方法，即使在数学教学屮， 也是一个十分重要的方法. 一、公理化方法的意义和作用 所谓公理化方法，就是由尽可能少的不加定义的原始概念（基本概念）和-?组 不加证明的原始命题（公理或公设）出发，运用逻辑规则推导出其余命题或定理， 把一门数学建立成为演绎系统的一种方法. 公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑屮广泛应用，而且已经远远超出数学 的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会科学部门，并在其屮起着重要作 用? 数学公理化方法具有分析、总结数学知识的作用.半一门科学积累了相 半丰富的经验知识，需要按照逻辑顺序加以综合整理，使之条理化、系统化，上 升到理性认识的吋候，公理化方法便是一种有效的手段.如近代数学屮的群论， 便经历了一个公理化的过程.当人们分别研究了许多具体的群结构以后，发现了 它们具有基本的共同属性，就用一个满足一定条件的公理集合来定义群，形成一 个群的公理系统，并在这个系统上展开群的理论，推导出一系列定理. 公理化方法作为数学研究的一个基本方法，不但对建立科学理论体系， 训练人的逻辑推理能力，系统地传授科学知识，以及推广科学理论的应用等方面 起到有益的作用，而且对于进一步发展科学理论也有独特的作用?例如在代数方 面，由于公理化方法的应用，在群论、域论、理想论等理论部门形成了一系列新 的概念，建立了一系列新的联系并导致了一系列深远的结果；在几何方面，由于 对平行公设的研究导致了非欧几何的创立.因此，公理化方法也是在理论上探索 事物发展规律，作出新的发现和预见的一种重要方法. 公理化方法本身又成为科学研究的对象.介乎于逻辑学和数学之间的边 缘学科——数理逻辑，用数学方法研究思维过程屮的逻辑规律，也系统地研究数 学屮的逻辑方法?因此，数学屮的公理方法是数理逻辑所研究的一个重要内容?由 于数理逻辑是用数学方法研究推理过程的，它对公理化方法进行研究，一方面使 公理化方法向着更加形式化和精确化的方向发展，一方面把人的某些思维形式， 特别是逻辑推理形式加以公理化，符号化.这种研究使数学工作者增进了使用逻 辑方法的自觉性. 数学公理化方法在科学方法论上具有示范作用.任何一门科学都不仅仅 是搜集资料，也决不是一大堆事实及材料的简单积累，而都是有其口身的出发点 和符合一定规则的逻辑体系?公理化方法对现代理论力学及各门自然科学理论的 表述方法都起到了积极的借鉴作用.例如牛顿在他的《自然哲学的数学原理》巨 著屮，系统地运用公理化方法表述了经典力学理论体系；本世纪40年代波兰的 巴拿赫完成了理论力学的公理化；爱因斯坦运用公理化方法创立了相对论理论体 系.狭义和对论的出发点是两个基本假设：和对性原理和光速不变