数学建模中数学模型方法的研究文献综述.doc

文献综述 数学建模中数学模型方法的研究 前言部分 数学建模M是将实际问题抽彖、简化，明确变量和参数，然麻根据某种“规律”建立变 量和参数间的数学关系，再解析地或近似地求解并加以解释和验证这样一个多次迭代的过 程。但要进行真正好的数学建模必须要有有关领域的专家、工作人员的通力合作，也就是说 数学建模的过穆往往是一个跨学科的合作过程。 应用某种“规律”建立变量、参数间的明确数学关系，这里的“规律”可以是人们熟知 的物理学或其他学科的定律，例如牛顿笫二定律、能量守恒定律等，也可以是实验规律。数 学关系可以是等式、不等式及其组合的形式，英至可以是一个明确的算法：能用数学语言把 实际问题的诸多方面（关系）“翻译”成数学问题是极为重要的。 不同的建模者由于看问题角度不同所建立的模型往往是不同，我们通过介绍数学建模的 儿类方法和儿个典型的数学模型，来让大家对数学模型有一个比校全面的认识和了解。 二、 主题部分 数学建模（Mathematical Modeling）把现实世界屮的实际问题加以提炼，抽象为数学 模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题, 我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。简而言Z,数学建模是利用各种数学方法解 决生产生活屮实际问题的一种方法。 数学建模是一门新兴的学科，20世纪70年代初诞生于英美等现代化工业国家。由于新技 术特别是计算机技术的迅速的发展，大最的实际问题需要用计算机來解决，而计算机与实际 问题Z间需要数学模型来沟通，所以这门学科在短短几十年的时间迅速辐射至全球大部分国 家和地区。（参见文献[2] [3]） 纵观数学的发展历史，数T年来人类对于数学的研究一真是沿着纵横两个方向进行的。 在纵向上，探讨客观世界在量的方面的木质和规律，发现并积累数学知识，然示运用公理化 等方法建构数学的理论体系，这是对数学科学自身的研究。在横向上，则运用数学的知识去 解决备门科学和人类社会生产与生活屮的实际问题，这里首先要运用数学模型方法构建实际 问题的数学模型，然麻运川数学的理论和方法导出其结果，再返冋原问题实现实际问题的解 决，这是对数学科学丿、、Z用的研究，由此可见，数学建模既是各门科学研究的经常性活动，具 有方法论的重要价值，又是数学与生产实际相联系的屮介和桥梁，对于发挥数学的社会功能 具有重要的作用。 近年来，随着我国数学教冇的蓬勃发展，人们的数学教冇观已经发生了深刻的变化，不 仅“犬众数学”与“问题解决”等崭新的教冇观念开始确立，而且包括“数学建模”在内的 各种教学实验也相继展开⑷。 所谓数学模型，就是针对或参照某种事物系统的主要特征或数量相依关系，采用形式化 的语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构。 数学模型是用数学方法解决实际问题的重要环节，从实际问题屮提炼数学模型就 要用到数学模型方法。 数学模型方法（mathematical modelling method）简称MM方法。它是把实际问题加以 抽象概括，建立相应的数学模世，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。它是将研 究的某种事物系统，采用数学形式化语言把该系统的特征和数量关系，抽象出一种数学结构 的方法，这种数学结构就叫数学模型。一般地，一个实际问题系统的数学模型是抽彖的数学 表达式，如代数方程、微分方程、差分方程、积分方程、逻辑关系式，其至是一个计算机的 稈序等等。由这种表达式算得某些变量的变化规律，与实际问题系统屮相应特征的变化规律 相符。一个实际系统的数学模型，就是对其屮某些特征的变化规律作出最精炼的概括。（参 见文献[5]-⑺） 数学模型为人们解决现实问题提供了十分有效和足够精确的工具，在现实生活屮，我们 经常用模型的思想来认识和改造世界，模型是针对原型而言的，是人们为了一定的目的对原 型进行的一个抽象（如航空模型就是对飞机的一个抽彖）。 数学模型通常具有三个特点：其一由于数学模型是从实际原型屮抽象概括出来的，是完 全形式化和符号化了的结构，所以它既要加以适当而乂合理的简化，乂要保证能反映原型的 特征；其二数学模型具有高度的抽象性，所以在数学模型上既要进行理论分析，又要能进行 计算和逻辑演绎推导；其三数学模熨必须返冋原型Z屮，接受实践的检验。 在对现实对彖进行建模时，人们常常对预测未來某个时刻变最的值感兴趣。变量可能是 人口、房地产的价值或者患有一种传染病的人数。数学模型常常能帮助人们更好地了解一种 行为或规划未来。可以把数学模型看做为了研究一种特定的实际系统或人们感兴趣的行为而 设计的数学结构。如图1所示，从模型屮，人们能得到有关该行为的数学结论，而阐明这些 结论有助于决策者规划未来。 图1从考察实际数据开始的建模过程的流稈图 那么，怎样才能建立一个符合客观要求的数学模型呢？构建数学模型，发挥模型在解