水文统计基本原理与方法 水文学教学PPT课件.ppt

d. 矩法 Method of Moments 矩在统计学中常用来描述随机变量的分布特征，均值等统计参数有些可以用矩来表示。矩可分为原点矩和中心矩两种。---- 原点矩??? 随机变量X对原点离差的r次幂的数学期望E（Xr），称为随机变量X的r阶原点矩，以符号mr表示，即:mr= E（Xr）(r = 1，2，3，。。。。，n） ??? ? 对离散型随机变量，r阶原点矩为:??????? mr= E（Xr）= ??? ??? 对连续型随机变量，r阶原点矩为:???????? mr= E（Xr）= ??? ??? 当r=1时，m1= E（X1）= ，即一阶原点矩就是数学期望，也就是算术平均数（均值）。? ---- 中心矩 随机变量X对分布中心E（X）离差的r次幂的数学期望E{[X-E（X）] r}，称为随机变量X的r阶中心矩，以符号μr表示，即:???????? μr = E{[X-E（X）] r}???? ??? 对离散型随机变量，r阶中心矩为:???????? μr= E{[X-E（X）] r}= ??? ?? 对连续型随机变量，r阶中心矩为:???????? μr= E{[X-E（X）] r}= ??? ??? 当r=2时，μ2 = E{[X-E（X）] 2}= σ2 ，即二阶中心矩就是标准差的平方（称方差）。 由大数定律可知，样本矩依概率收敛于总体矩。矩法是用样本矩估计总体矩，并通过矩和参数之间的关系，来估计频率曲线参数的一种方法。??? 前述，一阶原点矩的计算公式就是均值 ，均方差σ的计算式为二阶中心矩开方，偏态系数CS计算式中的分子则为三阶中心矩。 我们希望由样本系列计算出来的统计参数与总体更接近些，为无偏估值，因此，需要将上述公式加以修正 。 根据统计学的证明可知： 由矩法求到的样本平均值 为总体平均数的无偏估计量，然而二阶中心矩、CV , CS 则不是总体相应参数的无偏估计量，称为有偏估计量。故需要对参数CV , CS 进行修正，使其变成无偏估计量。 无偏估计量： 由统计学的定义，若 是未知数 ? 的估计量，而且 ，则称 为 ? 的无偏估计量。 因此，需要将上述公式加以修正，修正后的参数计算式为： (当 n 较大时) 求 Cv , Cs 的无偏估计量的修正计算式： 用上述的无偏估算公式计算的很多同容量的样本的统计参值的均值，可望等于总体的同名参数。 7.水文中常用的概率分布曲线 7.1 正态分布（ Normal distribution） (8-9) 式中， ：平均数； ? ：标准差。 许多随机变量如水文测量误差、抽样误差等一般服从正态分布。 f (x) a. 单峰，只有一个众数； b. 对于平均数对称, Cs= 0； c. 曲线二端趋于±∞ ， 并以x 轴为渐近线; d. 正态分布曲线的特点： 数学上可以证明： 正态分布的密度曲线在 处出现拐点，而且： f (x) 经验频率曲线目估定线和外延会产生较大的误差，因此借助于某些数学形式的频率曲线作为定线和外延的依据。 1、实测资料中选取或算得2~3个有代表性的特征值作参数； 2、选配一些数学方程作为总体系列频率密度曲线的假想数学模型； 3、按一定方法确定累积频率曲线。 7.2 理论频率曲线 注意：‘理论’非物理意义上严格被证明水文现象概率频率符合这种曲线。 概率密度函数表达式： 皮尔逊 Ⅲ 型分布 （Pearson Type III distribution） 式中, ?(?) ~ ? 的伽玛函数, ? , ? , a 0：三个参数，与三个统计参数 有一定的关系，其表达式为： 可见，当以上三个参数确定后，P-III型密度函数亦完全确定。 皮尔逊曲线特点： 1、只有一个众数，该处斜率为零； 2、曲线两端或一端以横轴为渐近线。 f(x) 皮尔逊Ⅲ 型概率密度曲线 a0 xP x P-III型曲线的特点： 一端有限另一端无限的不对称单峰正偏曲线，很多水文变量均符合P-III型分布。 (1) 在水文计算中，一般要求出指定概率 P 所相应的随机变量的取值 xP，即求出的 xP满足下列等式： 按上式计算相当复杂，故实用中，采用标准化变换： 取标准变量(离均系数)