偏微分方程教学PPT课件.ppt

* * * * 下面考虑 情形的半无界振动。 作变换 * * 例6： 令 * * * * 解法二： 由于外力、初始位移以及初始速度均为零， 所以弦振动时波传播只是受到边界点x＝0的影响而向x轴正向传播的右传播波。由此，解具有如下形式 根据边界条件确定任意函数 f： 令 故 * * 规定，当 时 * * 例7： 令 * * 当 当 * * 注意 * * 6. 三维波动方程的柯西问题 * * 球对称情形 所谓球对称是指 与 无关，则波动方程可化简为 * * 半无界问题 * * 这是关于 v = r u 的一维半无界波动方程. 偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E) * * 行波法 波动方程的初值问题（一维） （I） 波动方程 * * 一维波动方程的定解问题 无界弦的自由振动 无界弦的强迫振动 半无界弦的自由振动 半无界弦的强迫振动 三维波动方程的定解问题 二维波动方程的定解问题 球对称情形 一般情形 球面平均法 行波法 降维法 有限弦的振动问题 * * 1. 无界弦的自由振动 特征方程为 特征线为 故作线性变换 方程改写为 * * * * 此即为原方程的通解。 利用初值条件确定函数 F，G 其中 为任意一点，而C为积分常数， * * 达朗贝尔公式 * * 把定解问题的解表示为左、右行进波相叠加的方法称为“行波法”。 * * 例1： 解：由达朗贝尔公式 * * 例2： 解： * * 例3： * * 物理意义 右传播波 左传播波 * * * * 影响区域、依赖区域、决定区域 波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的。 如果在初始时刻 t＝0，扰动仅仅在有限区间 上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为 影响区域 定义： 上式所定义的区域称为区间 的影响区域。 * * 定义 区间 称为解在（x，t）的值的依赖区间。 从达朗贝尔公式中可以看出，u(x, t) 仅仅依赖于 中的初始条件。 依赖区间 它是过（x，t）点，斜率分别为 的直线与 x 轴所截而得到 的区间（如右图）。 * * 定义 区间 过 作斜率为 的直线 过 作斜率为 的直线 则 它们与区间 一起围成的三角形区域 中的任意一点 ( x, t ) 的依赖区间都落在区间 内，因此该三角区域称为决定区域。 * * 2. 无界弦的强迫振动 （I） （II） （III） * * 叠加原理 定解问题（I）的解 是定解问题（II）的解 与定解问题（III）的解 之和。 问题（II）的解可以用达朗贝尔公式来求解。 故只须考虑求解问题（III）的解。 我们利用齐次化原理来求解问题（III）的解。 * * 齐次化原理 （Duhamel原理） 设 是（IV） 的解， 则 正是 的解。 （III） * * 下面来求出（III）的解的表达式 令 （IV）化为 利用达朗贝尔公式可得 于是有 * * 齐次化原理的证明 需要用到参变量积分的求导 * * * * 定解问题（I）的解 一维非齐次波动方程的 Kirchhoff 公式。 * * 例5： 由例2， * * 3. 半无界弦的自由振动 我们先考虑 情形，即一端 x = 0 固定的振动。 希望能利用达朗贝尔公式来求解 * * 为此，我们要作奇延拓 （有时也作偶延拓） * * 为了得到半无界问题的解，只须限制 当 时， 当 时， 当在 x = 0处有一个自由端，即 则需要作偶延拓。 * * 例 当 当 * * 4. 半无界弦的强迫振动 作奇延拓 * * 考虑 浙江大学