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数理统计基础辅导书
第六章数理统计的基本概念
在前五章屮我们讨论了概率论的基本理论和方法,从木章开始我们将讨论统计推断,所 谓统计推断,简单地说是如何根据未知概率分布产生的数据来对该未知概率分布作某些推 断,换句话说,一个统计问题屮,只知道实验数据来自二个或更多概率分布屮的某一个,而 我们要做的即是对实验或试验得到的数据进行分析,从而试图对这个未知分布作出一些合理 的估计和推断。基木的统计推断包括参数估计,假设检验,方差分析和冋归分析等内容。
第1节总体和样本
重要概念
1?总体:研究对彖的全体所组成的集合称为总体
简单随机样木:满足随机性和独立性条件的样木称为简单随机样木。
经验分布函数:设…,兀是总体X的顺序统计量的观测值,令:
0 x
代(兀)斗一兀;U;+],R = 1,2,??‘一1
n *
1 沦兀
称FQ)为X的经验分布函数。
统计量:设(/,乂2,…,X“)为总体X的一个样木,(歼,兀2,…,九)为一连
续函数,且g屮不含任何未知参数,则称g(X|,X2,…,XJ 为统计量。
学习重点
通常所说的样木均指简单随机样木(除非特别说明),所以样木的联合分布函数容 易写出:
设总体X的分布为F(x) , (X|,X2,…,X”)是总体X 的容量为〃的样本,则 样木(/,乂2,…,X”)的联合分布函数为:
尸0],兀2,???,£)= 口尸(无)
/=1
常用的统计量:
— I n
(1) 样本均值:x=-Yxi
n /=i
(2) 样本方差:S?二丄-乂尸
农一1备
(3)
样本阶原点矩:
k2,…
n /=!
(4)
样木阶屮心矩:
b,=丄 £(x 厂乂y, “1,2,…
n /=i
(5)
顺序统计量:第i
个顺序统计量X;是样本,(X|,X2,…,X“)这样的一
个函数,不论样本,
(X”X2,…,X“)取怎样一组观测值(歼宀,…,兀“),
(6)它总是取其屮的X;样木屮位数:X =为其观测值。X:+i n = 2m
(6)
它总是取其屮的X;
样木屮位数:X =
为其观测值。
X:+i n = 2m + 1g(X:+X;+J nJn
(7) 样木极差:R = X:_X:例题选讲:
例1设总体X?N(O,1) ,, (Xj/j’Xm)为来自总体的样木,样木的一纟R观测
值为
(0, 0.2, 0.25, -0.3, —0.1, 2, 0. 15, 1, -0.7, 一1)。求
样本的联合密度函数
经验分布函数相M的观测值常用统计量的观测值
解(1) /(XpX2--,X
10
0.1 — 1 5 兀 —0.7
TOC \o 1-5 \h \z ⑵Fl。⑴= :
0.9 lx2
1 x2
略
四? 练习题
1.从一个总体屮抽取了容量为5
1.
从一个总体屮抽取了容量为5的一个样木,
具体观测值为(-2.8, -1, 1.5, 2. 1,
3.4),求出经验分布函数的相应的观测值,并作出它的图形。
设总体X?P(2)求其样木,(XPX2.SXJ的联合分布律。
设总体X?NQiq鋼求其样木,(X|,X2,…,X,J 的联合概率密度
4.设总体分布为体X?N(“q2),其中“为未知,(t2(0)为已知,,
(X|,X2,…,X“)为其容量为〃的样本,判断以下哪个是统计量,哪个不是统计
量。
1 n
(1)-乞 x; (2)
/=1n /=1 b /=]
/=1
设总体分布为区间(a,b)上的均匀分布,求容量为3的样本的分布密度。
假定乂和卩分别是取自正态总体N(“q2)的容量为〃的二样木, (X|,X2,???,X”)和 厲上,…,打)的均值,确定几 使得二个样本均值之差超 过b 的概率大约为0.01 o
第2节 抽样分布(Sampling Distribution)
概念:统计量是样本的函数,是随机变量,统计量的分布称为抽样分布。
常见抽样分布:
设,(X|,X2,…,X“)是正态总体N(0,l)的样木,称统计量
Z2=X X; 所服从的分布为自由度是兀的力2分布,记为
/=1
1 彳-1送
Z2-Z2(?),其密度函数为:/⑴=2心「(加2) 2 X-°
0 x 0
2 ?设X?N(0,l) Y?才⑷且x,Y相互独立,则称随机变量
Y
T = 所服从的分布为自由度为斤的/ (曲血加)分布,记作
y/Y/n
T?心),其密度函数为:/(兀)=「丝屮2)(1 +匚)-曲2 -ooxoo
/ w
设x??力相互独立,则称随机变量尸=——1
/ n2
/ \
( 、
丄1
/ 、
/I,
/?!
2
■ n\
1
—X
1 + —LX
1伽丿
5
n2 J
2x0所服从的分布为自由度是側曲2)的F分布,记为F?F(?,2).
2x0
「[(? +/?2)/2]r(n}/2)r(nJ2)0 一
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