第36讲同余(习题导学案教案)(奥数实战演练习题).pdf

第 讲 同 余 第 17 讲 同 余 17 同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工具之一。 同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工具之一。 m a b m m a b m 设 是一个给定的正整数，如果两个整数 与 用 除所得的余数相同， 设 是一个给定的正整数，如果两个整数 与 用 除所得的余数相同， a b a b m a b a b m 则称 与 对模同余，记作，否则，就说 与 对模 不 则称 与 对模同余，记作，否则，就说 与 对模 不 同余，记作， 同余，记作， 显然，； 显然，； 1 1、 同余是一种等价关系，即有自反性、对称性、传递性 、 同余是一种等价关系，即有自反性、对称性、传递性 1). 1).反身性：； 反身性：； 2). 2).对称性：； 对称性：； 3). ; 3). 传递性：若，则; 传递性：若，则 2 2、加、减、乘、乘方运算 、加、减、乘、乘方运算 mod m mod m mod m mod m 若 （ ） （ ） 若 （ ） （ ） mod m mod m mod m mod m mod m mod m 则 （ ），（ ），（ ） 则 （ ），（ ），（ ） 3 3、除法 、除法 mod m mod mod m mod 设 （ ）则 （ ）。 设 （ ）则 （ ）。 A A 类例题 类例题 1 9 1 9 例 ．证明： 一个数的各位数字的和被 除的余数等于这个数被 例 ．证明： 一个数的各位数字的和被 除的余数等于这个数被 9 9 除的余数。 除的余数。 20 2(mod9) 500 5(mod9) 7000 7(mod9) 10n 20 2(mod9) 500 5(mod9) 7000 7(mod9) 10n 分析 ≡ ， ≡ ， ≡ ，……，由于 分析 ≡ ， ≡ ， ≡ ，……，由于 n n n n 1=