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第一讲 数轴的数形结合及分类讨论
也可写成,指的是x所表示的点到原点的距离。
例1 是数轴上x所表示的点到1的距离,那么是 数轴上x表示的点到5 的距离。
练习1:(1)是 数轴上x表示的点到-2 的距离;(2)是数轴上x表示的点到-5.5 的距离。
例2 可理解为x到3的距离等于4,利用数轴可得x= -1或7 。
练习:(1)已知,则x= 7或-3 ,为什么?(仿照例2解释)
(2)已知,则x= -1或-5 ,为什么?
(3)已知,则x= 1.5或-6.5 ,为什么?
(4)的解是 x=-0.5 ,为什么?
(5)已知,,且数a、b在数轴上表示的点分别是A、B,求AB的最大距离和最小距离。
解:AB最大值为7,最小值为1,理由:(1)x所表示的数到2的距离为5,利用数轴有x=7或-3;
(2)x所表示的数到-3的距离为2,观察数轴有x=-1或-5;
(3)x所表示的数到-2.5的距离为4,观察数轴有x=1.5或-6.5;
(4)方程表示的是:x到-2的距离与x到1的距离相等,观察数轴x=-0.5;
(5)a=8或4,b=3或1,AB最大值为7,AB最小值为1.
例3 当取最小值时,求x的取值范围。
解: 表示x到-1与x到2的距离和;当x介于-1与2之间时,取最小值,
∴x的取值范围是-1≤x≤2。
练习3:(1)当取最小值时,求x的取值范围。
解:-2≤x≤1;解:
(2)当取最小值时,求x的取值范围。
解:-4≤x≤-1;
(3)当取最大值时,求x的取值范围。
解:表示x到5的距离与x到2的距离之差,当x在2的左边时,取最大值3,∴x的取值范围是x≤2;
(4)当取最大值时,求x的取值范围。
解:x≥1.
(5)已知的最小值为a,的最大值为b,求a+b的值。
解:表示x到3的距离与x到-2的距离之和,
当-2≤x≤3时,最小为5,即a=5;表示x到3的距离与x到-2的距离之差,当x≤-2时,最大值为5,即b=5,∴a+b=5+5=10;
(6)已知,且-5≤a≤2,求A的最大值。
解:当-5≤a≤2时,,∴A=7,
∵最小值为0,∴A的最大值为7.
例4 已知数轴上有A、B两点,A、B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么点B对应的数是 -4或-2或2或4 。
练习4:(1)已知数轴上有A、B两点,点A对应的数是-2,A、B之间的距离为3,那么点B对应的数是 -5或1 。
(2)已知数轴上有A、B两点,点A与原点O的距离为3,B点到原点的距离为4,则A、B之间的距离为 1或7 。
(3)数轴上,点A表示-3,点B与点A到原点的距离相等,且A、B不重合,点C与点B之间的距离是2,则点C表示的数是 1或5 。
(4)使得的整数x为 -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 。
例5 已知a<5,比较与4的大小。
解:当a=4或-4时,;当4<x<5或a<-4时,;当-4<a<4时,。
练习5:已知a>-3,比较与3的大小。
解:当-3<a<3时,;当a=3时,;当a>3时,。
例6 拓展
利用数轴分析:(1)当x为何值时,有最小值?最小值是多少?
解:表示到1、2、3的距离之和,当x=2时,它们的距离之和最小,为2。
(2)当x为何值时,有最小值?最小值是多少?
解:表示到1、2、3、4的距离之和,当2≤x≤3时,它们的距离之和最小,为4.
(3)当x为 3 时,有最小值?最小值是 6 ?
(4)当x为 1011≤x≤1012 时,……有最小值?最小值是 1022121 ?
(5)当x为 1013 时,……有最小值?最小值是 1025156 ?
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