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PAGE 4 有限元原理及工程应用作业 1 对一维有限元问题 （1）推导出三点二次单元的形函数，给出相应的图形，并与两点线性单元进行比较； （2）若用三点二次单元对图示一端固定，弹性模量为E，截面面积为A的等直杆轴向拉压问题进行有限元分析，试给出总体有限元方程。 （3）给出左端点的位移。L/4 L/4 L3/4 F 3F 解：（1）三点二次单元： -10 -1 0 1 i j m 设： 解得： 所以形函数： 两点线性单元： （2）对一个单元ij 对于1号单元： 对于2号单元： 组装总体刚度矩阵： （3）考虑约束条件：=0， 解得：  3． 使用四节点四边形单元的形函数推导热传导问题的单元刚度矩阵。 四结点等参数单元的插值函数为，采用它作为温度插值函数并代入温度值T，得到 形函数为 （i=1~4） 假设局部坐标系下的单元形状、结点排列和边的定义如下图所示，节点坐标为1：（-1，-1），2：（1，-1），3：（1,1），4：（-1,1）。 因此坐标函数为 （3-1） （3-2） 根据 得到 令，，， 则 得到 （3-3） ds与或之间的变换为 当ds在2号、4号边时，=常数，=0，则；当ds在1号，3号边时，=常数，=0，则。 为便于推导，写成统一的格式为： （3-4） 令 其中为单元内任一点处的温度值，（i=1,2,3,4）为结点处的温度值。 由式（3-2），有 ， ， 将它们代入能量泛函式，经过坐标变换，有 （3-5） 为方便后面求泛函极值，这里先写出对温度的偏导数： 将上式按i=1,2,3,4展开，并写成矩阵形式，有 式中包含的XC，XA，YC，YA，，均与温度T无关，只是的函数，而A和B则是结点温度，，，的函数。 又由于 所以 i=1,2,3,4；j=1,2,3,4 类似的，可以得到 i=1,2,3,4；j=1,2,3,4 回到温度泛函式，对温度求导，有 令 则 其中， 即为单刚阵最后形式。