高等代数 (69)古今数学思想.pdf

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第四章 多项式 4.4 因式分解定理 4.4.3 因式分解的存在唯一性 三、因式分解的存在唯一性 f F x  F- p 1 i s  使得 f p p p . 定理. 正次数多项式   存在 不可约多项式 i 1 2 s 证明: 对 的次数 用数学归纳法 f n : (1) f 1, f F- , . 若 的次数为 此时 就是 不可约多项式 定理为真 (2) f n 1, n . 下设 的次数 且定理对次数小于 的正次数多项式为真 若 在 上不可约 结论显然 f F , . f F , : f f f , f , f F x 次数为正且均 n. 下设 在 上可约 则有分解式 1 2 其中 1 2   对f 1, f 2 分别应用归纳假设: f p p , f p p f p p p p . p F . 1 1 r 2 r 1 s 1 r r 1 s 其中 在 上不可约 i 定理 数域 上任一正次数多项式 的不可约分解式是唯一的 即 F f , : f p p q q , 其中 均 不可约 s = t, 且适当调整顺序后有p ~q . 1 s 1 t p , q F- i j i j 证明: 对s 用数学归纳法. 1 若s 1, 显然.   2 下设s 2. p p q q p q q  p q 对某个j   1 s 1 t 1 1 t 1 j g  1   不妨设p q , 由p ,q 不可约 p cq 对某非零c F p p q q 1 1 1 1 1 1 2 s  2  t

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