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第四章 多项式
4.4 因式分解定理
4.4.3 因式分解的存在唯一性
三、因式分解的存在唯一性
f F x F- p 1 i s 使得 f p p p .
定理. 正次数多项式 存在 不可约多项式 i 1 2 s
证明: 对 的次数 用数学归纳法
f n :
(1) f 1, f F- , .
若 的次数为 此时 就是 不可约多项式 定理为真
(2) f n 1, n .
下设 的次数 且定理对次数小于 的正次数多项式为真
若 在 上不可约 结论显然
f F , .
f F , : f f f , f , f F x 次数为正且均 n.
下设 在 上可约 则有分解式 1 2 其中 1 2
对f 1, f 2 分别应用归纳假设:
f p p , f p p f p p p p . p F .
1 1 r 2 r 1 s 1 r r 1 s 其中 在 上不可约
i
定理 数域 上任一正次数多项式 的不可约分解式是唯一的 即
F f , :
f p p q q , 其中 均 不可约 s = t, 且适当调整顺序后有p ~q .
1 s 1 t p , q F- i j
i j
证明: 对s 用数学归纳法. 1 若s 1, 显然.
2 下设s 2. p p q q p q q p q 对某个j
1 s 1 t 1 1 t 1 j
g
1
不妨设p q , 由p ,q 不可约 p cq 对某非零c F p p q q
1 1 1 1 1 1 2 s 2 t
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