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第四章 多项式
4.7 实(复)系数多项式的因式分解
4.7.1 复数域上的分解
一、复数域上的分解
代数基本定理(Gauss): 任一正次数复系数多项式在复数域中至少有一根.
推论. 复数域上的不可约多项式恰为全部一次多项式.
证明: 由不可约多项式的定义知: 一次多项式都是不可约的.
, f x
反之 设正次数多项式 在 ℂ 上不可约
x f x
代数基本定理 f 有一个复根
g x f x g
使得
0 g , deg f 1
f 在 ℂ 上不可约
复数域上多项式的因式分解定理:
(1) 任一正次数多项式在复数域上唯一分解为一次因式之积.
任一 次数多项式恰有 个复根 重根按重数计算
(2) n(0) n ( ).
证明: (1) 由因式分解唯一性定理与推论.
(2) 由(1), 设 f 在 ℂ 上的不可约分解式为 f x a x x
n 1 n
1 i n
i 恰为f 在 ℂ 上的全部 n 个复根.
例1. 证明: sin x 不是多项式.
反证: 设 sin x 是多项式, 显然不是零多项式. 设其次数为 n, 则至多 n 个实根,
与 sin x = 0 有无穷多个实根: 0, π, 2π, 3π, ... 矛盾!
例1. 设多项式 f x F x 满足 f x y f x f y , x ,y F .
f x 0 或 1.
证明
证明: f x y f x f y , x , y F
2
f 2x f x x f x , x F
f 2 x f 2x
是零多项式 f x
是常数多项式
2
,
否则 设 deg f
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