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第四章 多项式
4.3 最大公因式
4.3.2 最大公因式的存在唯一性
二、最大公因式的存在唯一性
设 f , g F x
0 ,
定理1. 是不全为 的多项式 则
(2) 存在 u, v F x , 使得 uf vg d .
(1) f g d ;
与 的最大公因式 存在
证明: 构造集合 S uf vg u, v F x
S : f 1f 0g , g 0f 1g
则 中存在非零多项式 比如
S d( )
由最小自然数原理, 中存在某个次数最小的非零多项式 不唯一
d S , u, v F x , uf vg d
不妨设 使得
: d f g .
断言 是 与 的一个最大公因式
S uf vg u, v F G
d = uf + vg 是 中某次数最小的非零多项式
: d f g .
断言 是 与 的一个最大公因式
若 也是 与 的一个公因式 则e f , e g e uf vg d
[1] e f g ,
deg r deg d
[2] d f : 带余除法 设f = qd + r, 其中
r x 0 d f
r f q d f q uf vg 1qu f qvg S
d S 同理d g
是 中次数最小的非零多项式
综合[1][2] d = uf + vg f g
是 与 的一个最大公因式
则 与 相伴 即存在0 c F 使得
(3) d e f g , d e , d = c•e.
若 与 都是 与 的最大公因式
f , g .
f g 1 ,
特别地 与 的首 最大公因式唯一存在 记为
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