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第三章 n维向量空间
3.2 向量组的线性相关性
3.2.4 线性相关性的判定
四. 线性相关性的判定
给定 , … , , 若存在不全为零的数k , …, k 使得:
1 m 1 m
k k k 0
1 1 2 2 m m
称 , …, 线性相关, 否则称 , …, 线性无关.
1 m 1 m
基本问题:
(1) 如何判断向量组的线性相关性?
(2) 线性相关性与线性方程组求解有何关系?
(3) , ?
线性相关性与矩阵的秩 行列式有何关系
定理2. 设A × =( , …, ), 则下列命题等价：
m n 1 n
(1) , …, 线性相关; (2) AX = 0有非零解; (3) R(A) n .
1 n
证明: (1) (2)
, …, 线性相关
1 n
有不全为零的数k , …, k 使得 k k 0
1 n 1 1 n n
k
1
有不全为零的数k , …, k 使
1 n , , 0
1 n
k
n
A K
T
AX 0 有非零解K k , , k
1 n
定理2. 设A × =( , …, ), 则下列命题等价：
m n 1 n
(1) , …, 线性相关; (2) AX = 0有非零解; (3) R(A) n .
1 n
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