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第二章 行列式
2.3 Laplace展开定理
2.3.1 子矩阵与子式
一. 子矩阵与子式
子矩阵
设A 是一个m n 矩阵. 取定A 的k 个行与l 个列交叉点上的, k l 个元按原来的
相对位置所成矩阵称为A 的一个子矩阵.
若k l , 且行与列的选法相同所得, k 阶子矩阵称为主子矩阵.
1 3 4
1 2 3 4 选取1, 3 行, 1, 3, 4 列所得子矩阵, 为 A1
4 1 0
A 2 0 3 1
4 2 1 0 1 3
选取1, 3 行, 1, 3 列得, 2阶主子矩阵为 A2
4 1
选取前k 行k 列所得子矩阵称为 k 阶顺序主子矩阵.
子式
设A 是一个n 阶矩阵或行列式取定, A 的k 行k 列
交叉元保持相对位置所成k 阶行列式记为S ,称为k 阶子式.
若行与列的选法一致称, S 为k 阶主子式.
若选取前k 行前k 列称, S 为k 阶顺序主子式.
划去S 所在行与列所得, n k 阶行列式称为 S 的余子式.
设S 的行在A 中为i , , i 行列为, j , , j 列,
1 k 1 k
i i j j
1 1 k 1 k M 称为 S 的代数余子式, 其中M 是S 的余子式.
2 0 1 0 2
1 0 1 0 1
A 0 1 1 2 1
0 2 2 1 2
0 1 1 1 1
选取1, 3 行, 2, 3 列相应的子式, 余子式, 代数余子式:
1 0 1
0 1
S1 M 0 1 2 A 1 1323 M M
1 1 1 1 1 1
0 1 1
选取1, 3, 4 行, 2, 3, 5 列相应的子式, 余子式, 代数余子式:
0 1 2
1 0 134235
S 1 1 1 M A 1 M M
2
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