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案例2 三门问题
(一)三门问题介绍
三门问题又名蒙提霍尔问题(Monty Hall problem),
出自美国的电视游戏节目Let s Make a Deal. 问题名
字来自该节目的主持人蒙提·霍尔 (Monty Hall).
年 寄给 《展示》 杂志
1990 Craig F. Whitaker (Parade)
Ask Marilyn专栏的信件,提出了蒙提霍尔问题,
具体如下:
2
假设你正在参加一个游戏节目.你看见三扇关闭了的
门,其中一扇的后面有一辆汽车,另外两扇门后面则
各藏有一只山羊.选中后面有车的那扇门可赢得该汽
车.你选定了一扇门,但没去打开它.知道门后面有什
么的主持人打开了另一扇后面有山羊的门.主持人问你
要不要换另一扇仍然关上的门.问题是:换另一扇门会
增加你赢得汽车的概率吗?
3
不妨设你选定了1号门,主持人打开了3号门.
换还是不换呢?
4
有人认为既然3号门后有山羊,那么汽车一定在1号或
2号门后面.因此换不换门后有车概率都是1/ 2.
228 Marilyn
智商高达 的 在她专栏的回答是换更有优势.
这在美国引起了激烈的争议.人们寄来数千封抱怨信,
“
很多寄信人是科学老师或学者.一位读者写道:这个国
家已经有够多的数学文盲了,我们不想再有个世界上
智商最高的人来充数!真让人羞愧!”
5
但是Marilyn并没有错.最后她用整整4个专栏,数百
个新闻故事及在小学生课堂模拟的测验来说服她的
读者她是正确的. 她说:“哦,那真是太有趣了.实际
上我十分享受这些讨厌的来信.”
6
(二)三门问题解答
假设:
1.汽车事先等可能地放在三个门中的某一个后面;
2.如果你选的门后面是羊,那么主持人肯定打开另
一扇后面是羊的门;
3.如果你选的门后面是车,那么主持人等概率地打
开剩下两扇门中的一扇.
7
解:令 号门后面是车 主持人打开 号门
Bi {i },i 1,2,3,A { 3 },
则P (B ) P (B ) P (B ) 1/ 3,
1 2 3
P (A | B ) 1/ 2,P (A | B ) 1,
1 2
P (A | B ) 0. 由贝叶斯公式,
3
不换能得到汽车的概率为
P (B )P (A | B )
P (B1 | A) 1 1
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