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有限元原理及工程应用作业
胡坚 硕0001班 3110001033
张迎庆 机硕71班任课老师:韩省亮
1 对一维有限元问题
(1)推导出三点二次单元的形函数,给出相应的图形,并与两点线性单元进行比较;
(2)若用三点二次单元对图示一端固定,弹性模量为E,截面面积为A的等直杆轴向拉压问题进行有限元分析,试给出总体有限元方程。
(3)给出左端点的位移。L/4
L/4
L3/4
F
3F
解:(1)三点二次单元:
-10
-1
0
1
i
j
m
设:
解得:
所以形函数:
两点线性单元:
(2)对一个单元ij
对于1号单元:
对于2号单元:
组装总体刚度矩阵:
(3)考虑约束条件:=0,
解得:
3. 使用四节点四边形单元的形函数推导热传导问题的单元刚度矩阵。
四结点等参数单元的插值函数为,采用它作为温度插值函数并代入温度值T,得到
形函数为
(i=1~4)
假设局部坐标系下的单元形状、结点排列和边的定义如下图所示,节点坐标为1:(-1,-1),2:(1,-1),3:(1,1),4:(-1,1)。
因此坐标函数为
(3-1)
(3-2)
根据
得到
令,,,
则
得到
(3-3)
ds与或之间的变换为
当ds在2号、4号边时,=常数,=0,则;当ds在1号,3号边时,=常数,=0,则。
为便于推导,写成统一的格式为:
(3-4)
令
其中为单元内任一点处的温度值,(i=1,2,3,4)为结点处的温度值。
由式(3-2),有
,
,
将它们代入能量泛函式,经过坐标变换,有
(3-5)
为方便后面求泛函极值,这里先写出对温度的偏导数:
将上式按i=1,2,3,4展开,并写成矩阵形式,有
式中包含的XC,XA,YC,YA,,均与温度T无关,只是的函数,而A和B则是结点温度,,,的函数。
又由于
所以
i=1,2,3,4;j=1,2,3,4
类似的,可以得到
i=1,2,3,4;j=1,2,3,4
回到温度泛函式,对温度求导,有
令
则
其中,
即为单刚阵最后形式。
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