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专题9 随机变量的独立性
（一）知识要点
随机变量X 与Y 相互独立定义：
对于任意实数集A,B ,P (X A,Y B ) P (X A)P (Y B )
等价于：F (x, y) F (x)F (y ), 对所有实数x , y成立.
X Y
若X 与Y 是离散型随机变量，p P (X x ,Y y ),
ij i j
i, j 1,2,..., p P(X x ), p P (Y y ),
i i j j
则X 与Y 独立：对一切i, j都成立p p p
ij i j
若X 与Y 是连续型随机变量，联合概率密度为f (x , y ),
边际概率密度分别为 ， 则 与 独立：
f X (x ) f Y (y ), X Y
对平面的点(x, y )几乎处处成立: f (x ,y ) f X (x )f Y (y ).
(
二 例9.1. 设随机变量X ,Y 相互独立，它们的分布律分别为：
) X 0 1 2 Y 1 0 1
例 P 0.2 0.5 0.3 P 0.5 0.1 0.4
题 求P(X Y 1),P(X Y ).
分
析 解：P(X Y 1) P( X 0,Y 1 X 1,Y 0 X 2,Y 1 )
不相容
P X 0,Y 1 P X 1,Y 0 P X 2,Y 1
独立
P(X 0)P(Y 1) P(X 1)P(Y 0) P(X 2)P(Y 1)
0.20.4 0.50.10.30.5
0.28
例9.1. 设随机变量X ,Y 相互独立，它们的分布律分别为：
X 0 1 2 Y 1 0 1
P 0.2 0.5 0.3 P 0.5 0.1 0.4
求P(X Y 1),P(X Y ).
解：P(X Y ) P( X 0,Y 0 X 0,Y 1 X 1,Y 1 )
不相容
P
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