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《偏微分方程 训练题2》2017 年5 月
数学 专业
命题人：谭忠 ：
要求：本次试卷为闭卷完成。
偏微分方程是对现实问题进行定量分析之后建立的一种数学模型，其建立的
过程以及经典解法中的推导细节都是数学分析或者微积分已经训练过的方式方法。
为了求解偏微分方程就形成了一系列数学问题，即偏微分方程的定解问题，对这
些定解问题的存在性、唯一性和连续依赖性就是偏微分方程的适定性问题；后来
随着强解和弱解的引进，正则性理论应运而生，解的渐近性、奇点的形成与发展
等问题也吸引着人们的兴趣。
为了求解偏微分方程，数学家们规范了它的框架，给出了它的一般概念，比
如：偏微分方程的阶数，线性、半线性、拟线性、完全非线性，齐次与非齐次等
等。
真正属于偏微分方程本身范畴的知识框架最基本的是定解问题和偏微分方程
的分类。
1. （20 分）写出你学过的Laplace 方程所形成的所有定解问题；
2. （20 分）写出你学过的热传导方程所形成的所有定解问题；
3. （20 分）写出你学过的波动方程所形成的所有定解问题；
4. （20 分）求下列方程的通解：
(1) ；
(2) ；
5. （20 分）判断方程的类型, 并化为标准形式
(1)
(2)
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