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专题12 方差
（一）知识要点
2
1.方差定义: 设X 是一个随机变量，若E [X E (X )] 存在，
则称其为X 的方差，记为D (X )或Var (X )，即
D(X ) Var (X ) E [X E (X )]2 .
2
注意到，当取g (x) [x E (X )] , 则D(X ) E (g (X )).
而 称为 的标准差
(X )= D (X ) X .
2.方差的计算公式: 2 2
D(X ) E (X ) [E (X )] .
2
3. 方差的性质：
(1) 设c是常数, 则 D(c) 0.
2
(2) 设X 是随机变量, c是常数, 则有 D (cX ) c D (X ).
(3) 设X ,Y 是两个随机变量, 则有
D(X Y ) D(X ) D(Y ) 2Cov(X ,Y ).
其中Cov( X ,Y) E [ X E( X )][Y E(Y)] 称为协方差.
2 2
设a,b,c是常数,则 D(aX bY c) a D(X ) b D(Y ) 2abCov(X ,Y ).
n n
一般地,D (X ) D (X ) 2Cov (X , X ).
i i i j
i 1 i 1 n i j n
若X ,...,X 相互独立,则D (X ) D (X ).
1 n i i
i 1 i 1
(4) D(X ) 0 P(X c) 1 且 c E (X ). 3
（二）例题分析
例12.1.如果从 I can because I think I can. 这句话中随机
地抽取一个单词, 用X 表示所选单词中字母的个数, 求 D (X ).
解: 因为是随机地抽取, 因此抽到每个单词的可能性
都是一样的. 故X 的分布律为 X 1 3 5 7
在专题11中已得到 E (X ) 3. P
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