有限元大作业.doc

PAGE PAGE 2 有限元基本理论及工程应用大作业 学 院：机械工程学院 组 员：赵文玉 3111001124 候龙飞 3111001140 马 渊 3111001037 张 丹 3111003026 史生宇 3111001016 对一维有限元问题：（1）推导出三点二次单元的形函数，给出相应的图形，并与两点线性单元进行比较；（2）若用三点二次单元对图示一端固定，弹性模量为E，截面面积为A的等直杆轴向拉压问题进行有限元分析，试给出总体有限元方程。（3）给出左端点的位移。 L/4 L/4 L3/4 F 3F 解：（1）推导三点二次单元的形函数 母体单元：长度为2的直线段，取它的两个端点和中点为三个节点，如下图所示： 构造形函数 为了保证在0处为1，在其他两点处为0，可以构造出： 修改两结点线性单元的形函数 两结点线性单元的形函数为： 两结点线性单元形函数在0处得值为： 对它们进行修改，得到如下的三节点二次单元的形函数， 综上所述，三点二次单元的形函数为 三点二次单元与两结点线性单元的形函数的主要区别在于前者是二次函数而后者是一次线性函数。 （2）对题中图示的系统进行有限元分析 将系统离散化并对单元和结点编号，离散为2个三结点二次单元，5个结点，如下图所示： 建立总体坐标系，并确立结点的坐标和自由度 坐标原点与结点1重合，以u表示结点的位移，则在总体坐标系中，各结点的坐标为： 坐标变换 实际单元与母体单元之间的坐标变换： 对 eq \o\ac(○,1)单元有 对 eq \o\ac(○,2)单元有 求Jacobi矩阵和Jacobi行列式 单元内假设的位移场为： 用矩阵表示为： 对 eq \o\ac(○,1)单元 Jacobi矩阵为 为了构造单元刚度矩阵，需要确定应变，应变是用位移相对于取导数定义的。因是关于的函数，应用复合函数求导法则， ， 所以，应变 则该单元的几何矩阵为 [B]为自然坐标的函数。 单元刚度矩阵为 对 eq \o\ac(○,2)单元 Jacobi矩阵为： 应变： 则该单元的几何矩阵为： 单元刚度矩阵为： 组装整体刚度矩阵 将每个单元的自由度扩充到与结构总体自由度相同（均为5），并在单元刚度矩阵中补充零元素则单元矩阵变为： 总体刚度矩阵为 总体平衡方程为： 引入位移约束条件 QUOTE u5=0 并将其代入总体平衡方程中，得到： 化简，可得到系统的有限元方程： （3）计算左端点的位移 通过求解系统的有限元方程可得到各结点的位移，其中，即左端点的位移为。 热传导问题的有限元分析。（1）推导对应二维热传导的“能量泛函”（2）用四节点线性形函数表示该“能量泛函”并写出其对应的一般的矩阵形式。 解：（1）二维热传导的能量泛函为： U = 推导过程：二维温度场相应的微分方程和边界条件为 ? 能量泛函Ue的变分为（对ε求导后令ε=0 δ = 通过化简可得到： δ 泛函取极值的必要条件是δU - 再有变分法基本预备定理便得， ? 由题意满足边界条件。即能量泛函为U （2）由题意：四节点等参元的插值函数为 ε= 代入温度值T: T= 其中形状函数为 N 坐标函数： ξ= x= 通过坐标变换 令 A=?T?ξ XC=?x?ξ= YC=?y?ξ= 将他们代入泛函Ge G Ge ?G 写成矩阵的形式 ? 其中kkij 同理可以得到 ? 其中zzij 因为? 所以? 令[KK] 可得：? 其中[KK]4×4 使用四节点四边形单元的形函数推导热传导的单元刚度矩阵。 解：（1）温度场的变分和有限元的一般格式： 由传热学相关理论可知，温度场的求解可以归结为寻找满足下列控制方程和定解条件的温度函数： （3.1） ，在给定温度边界上 （3.2a） ，在给定热流边界上 （3.2b） ，在对流边界上 (3.2c） ，在辐射边界上 （3.2d） ，初始条件 (3.3） 其中，式3.1是控制方程，式3.2是边界条件，式3.3是初始条件。 当稳态时，，是内部热源强度，即为单位体积、单位时间的内部热生成率。当瞬态时，，即为包括比热影响在内的单位体积、单位时间的热生成率。 取泛函如下 （3.4） 其中，V表示求解域，表示对流边界，表示辐射边界，表示热流输入边界。 取泛函的一阶变分，并使其等于零，则有 （3.5） 可简化为 （3.6） 其中， 式中，称为导热系数矩阵。 可以证明，式3.5与式3.2（b）~式3.2(d)等价。所以，温度场的求解也就变成在式3.2a和式3.3约束下，寻找满足式3.5的温度场函数。 由式3.1可知，式3.6中的表示包括比热影