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第二章 行列式
2.2 行列式的性质和计算
2.2.7 方阵乘积的行列式
七. 方阵乘积的行列式
定理. 设 都是 阶方阵 则
A , B n , :
1 A 可逆 A 0; 2 AB A B .
证明: 若 不可逆
A .
A 0 R,
可经系列初等行变换化成最后一行全 的阶梯形
存在初等矩阵P , , P 使得 A P P R
1 s 1 s
R 0 A P P R 0
1 s
AB P P RB AB P P RB
1 s 1 s
RB 最后一行全为0 RB 0 AB 0 AB A B .
A , B n , :
定理. 设 都是 阶方阵 则
1 A 可逆 A 0; 2 AB A B .
证明: A .
若 可逆
存在初等矩阵P , , P 使得A P P
1 s 1 s
A P P P P P P 0
1 2 s 1 2 s
初等矩阵的行列式不为0
AB P P P B P P P B A B
1 2 s 1 2 s
推论1. A , A , A 为n 阶方阵 A A A A A A .
1 2 t 1 2 t 1 2 t
推论2. A, B n , AB = I ( BA = I ), A 可逆且B A1 .
设 为 阶矩阵 且 或 则
证明: AB I A B AB I 1
A 0 A 可逆
在AB I 两端同时左乘A1 , 则B A1 .
1 1 1
应用: A 可逆 A
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