图像处理第9章图像变换编码.ppt

9.4.1 小波变换基础 各个缩放函数空间Uj，j = –∞,…, 0, 1, …, ∞是嵌套的，Uj中的展开函数可以表示成Uj+1中展开函数的加权和 用hu(k)表示缩放函数系数，因为u(x) = u0,0(x)，有 多分辨率细化方程 任何一个子空间的展开函数都可用其下一个分辨率（1/2分辨率）的子空间的展开函数来构建 9.4.1 小波变换基础 3.小波函数 用v(x)表示小波函数，对其进行平移和二进制缩放，的到集合： 与vj,k(x)对应的空间为Vj，将f(x)表达为 空间Uj，Uj+1和Vj有如下关系（⊕表示空间的并） 图9.4.2 与缩放函数和小波函数相关的函数空间之间的关系 在Uj+1中，Uj的补是Vj 每一个V j空间是与其同一级的Uj空间和上一级的Uj+1空间的差. 9.4.1 小波变换基础 Uj中所有uj,k(x)与Vj中所有vj,k(x)是正交的： 如果考虑把j 取到趋近–∞，则有可能仅用小波函数，而完全不用缩放函数来表达所有的f(x) 如果用hv(k)表示小波函数系数，则可把小波函数表示成其下一个分辨率个位置缩放函数的加权和： 9.4.1 小波变换基础 4. 缩放函数和小波函数示例 先考虑单位高度和单位宽度的缩放函数 这样的函数构成空间U的正交归一化基，因为： （9.4.15） （9.4.15） 下图(a)-(d)分别给出将上述缩放函数带入式(9.4.7)所得到的uj,k(x).从图中可以看出，随着j 的增加，缩放函数变窄变高,能表达出更多的细节。 9.4.1 小波变换基础 例9,4,2 用缩放函数表示1-D函数f(x) 对图9.4.4中的f(x)，仅用j =0的缩放函数不够，还需要j =1的缩放函数 f (x)是属于U1的， 而不是属于U0的 注意：u1,2(x)+u1,3(x)的组合可用u0,1(x)表示， 但u1,5(x)+u1,6(x)的组合不能用U0中的缩放函数表示。 9.4.1 小波变换基础 与式(9.4.15) 对应的小波函数为 (9.4.17) 由图9.4.5可以看出，随着j的增加，小波函数也变窄变高，同时能表达更多的细节 9.4.2 1-D小波变换 1. 小波序列展开 对给定的函数f(x)，可以用u(x)和v(x)对它进行展开 a0(k)：缩放系数 dj(k)：小波系数 如果展开函数仅构成U和V的双正交基，则u(x)和v(x)要用他们的对函数u(x)和v(x)来替换 （9.4.19） （9.4.20） （9.4.21） 9.4.2 1-D小波变换 2. 离散小波变换 如果f(x)是一个离散序列，展开得到的系数称为f(x)的离散小波变换（DWT） 同样，如果展开函数仅构成U和V的双正交基，则u(x)和v(x)要用他们的对函数u(x)和v(x)来替换 （9.4.22） (9.4.23) （9.4.24） 9.4.3 快速小波变换 小波变换在实现上的快速算法即称为快速小波算法 考虑多分辨率细化方程，用m表示求和变量： （9.4.25） 对x用2j进行缩放，用k进行平移，令n=2k+m,可得到： (9.4.26) 对式（9.4.13），对x用2j缩放，用k进行平移，并令n=2k+m,类似得到 (9.4.27) 离散小波变换在尺度j的近似系数也是离散小波变换在尺度j+1的近似系数的函数，即： 在尺度j 上的系数Wu(j, k)和Wv(j, k)都可用在尺度j+1的近似系数Wu(j+1, k)分别与缩放矢量hu和小波矢量hv卷积再进行亚抽样得到。可用下图所示分析方框图表示，表示亚抽样。 9.4.4 2-D小波变换 1. 2-D变换函数 需要1个2-D缩放函数u(x, y)和3个2-D小波函数vH(x, y)，vV(x, y)，vD(x, y)，每一个都是1-D缩放函数和对应的小波函数的乘积 可分离的缩放函数 水平边缘 垂直边缘 沿对角线的变化 9.4.4 2-D小波变换 缩放和平移的基函数 得到M×N的2-D图像f(x,y)的离散小波变换: (9.4.37) (9.4.38) (9.4.39) (9.4.40) 一般选择N=M=2J,j=0,1,2...,J-1，m,n=0,1,2....,2j-1。通过离散小波反变换得到f(x,y): 9.5 小波变换编码 {在JPEG-2000及MPEG-4和H.264中都得到了应用} 9.5.1 小波变换编解码系统 基本思路：通过变换减小像素间的相关性，以获得压缩数据的效果。（书218说明） 与采用正交