第五章等参数单元（第一部分）.pdfVIP

限元分析与应用 霍战鹏 第五章 等参数单元(Isoparametric Elements) 在前面的章节中我们已经认识了三角形单元和矩形单元。这两种单元的边均为直边，用 直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。本章将要介 绍的等参数单元是目前应用最广的一类单元，可用这类单元更精确的描述不规则的边界。这 类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广 泛为其他类型的单元所采用。等参数单元 构造形函数时首先定义一个规则的母体单元（参 考单元）， 母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。 变换涉及两个方面：几何图形的变换 （坐标变换）和位移场函数的变换，由于两种变换采 用了相同的函数关系 （形函数）和同一组结点参数，故称其为等参数变换。 5-1 四结点四边形等参数单元 １、母体单元 自然坐标和形函数 母体单元 ：边长为２的正方形，自然坐标系 η 示于图5-1 。取四个角点为结点， 在单元内的排序为１、２、３、４。仿 照矩形单元，可定义出四个形函数 η 3 1 4 N ( , ) 1 (1 ) x h x x h h (1,1) i i i 4 (i 1~ 4) (5-1-1) ξ 显然 N i (x ,h) 有如下特点： （i ）N i (x ,h) 是 η 的双线性函数 (-1,-1) 2 １ （ii ） N (x ,h)＝d 1 当 j i i ij 0 当 i i 图5-1 4 1 1 N x h x h x h (iii) i ( , ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) i1 4 4 1 1 (1 x )(1 h) (1 x )(1 h) (5-1-2) 4 4 1 ２、实际单元与母体单元之间的坐标变换 （１）坐标变换 ) F e e 设xy 平面上的实际单元e 由母体单元经过变换F 得到，即 ： 且规定结点 （，η ）与结点（x , y ）对应 （i= 1~4 ）。这样的变换不只一个，利用 （5-1-1 ）定义的形函 i i i i 数即可写出这种变换中的一个