专题13 相关与独立.pdf

专题13 相关性与独立性 （一）知识要点 1.定义: 随机变量X 与Y 的协方差,记为Cov (X ,Y ), 其值为 Cov( X ,Y) E [ X  E( X )][Y  E(Y)] .   协方差Cov( X ,Y)反映了随机变量X与Y的线性相关性: 当Cov(X,Y )0 时，称X 与Y正相关； 当Cov(X,Y )0 时，称X 与Y 负相关； 当Cov(X,Y )=0 时，称X 与Y不相关. 2.协方差的计算公式:Cov( X ,Y) E (XY ) E(X )E (Y). 2 协方差是有量纲的数字特征，为了消除其量纲的影 响，引入一个新概念： 3.定义：数值 Cov( X ,Y ) XY D (X )D (Y ) 称为随机变量X 与Y的相关系数, 是没有量纲的. * X E (X ) * Y E (Y ) 若记标准化变量 X ,Y , D(X ) D(Y ) * * 则 XY Cov( X ,Y ). 3 4.相关系数是一个用来表征两个随机变量之间线性关 系密切程度的特征数, 有时也称为“线性相关系数”.  当 较大时，表明X 与Y的线性关系程度较好； XY  当 较小时，表明X 与Y的线性关系程度较差. XY 特别地， 当XY 1 时，表明X 与Y之间以概率1存在线性关系； 当XY 0 时，表明X 与Y之间没有线性关系，称 两个变量X 与Y不相关. 4 5.定义：若 则称随机变量 与 不相关或零相关. XY 0, X Y Cov( X ,Y ) 注意到XY , D (X )D(Y ) 随机变量X 与Y 不相关或零相关的等价条件有: (1) Cov( X ,Y) 0; Cov( X ,Y) E( XY)  E( X )E(Y) (2) E(XY ) E (X )E (Y ). —— 较常用 5 对比，随机变量X ,Y 相互独立定义 定义：设F (x, y)是二元随机变量 X ,Y 的分布函数, F (x)   X 是X 的边际分布函数,