对一维有限元问题.docVIP

4. 在总体坐标系中有一个任意三角形，设三个节点的坐标分别为： 节点1：（x1, y1） 节点2：（x2, y2） 节点3：（x3, y3） （1）试推导其总体坐标系中的形函数。 （2）证明（1）给出的形函数与用面积坐标表达的形函数等价。 解答： （1） 如图为总体坐标系中的任意三角形单元。节点编号是1、2、3。节点位移是( u1, v1 )、( u2, v2 ) 、( u3, v3 )　单元结点位移为 假定单元内位移场函数u, v为x, y的线性函数 其中： ~ 为待定常数，在节点处可以解出： 其中，=det DA= + + = 这里其实可以通过计算是三角形面积的两倍。 ， ， ， ， ， ， 把这些结果带入单元内假定的位移场中，得到 类似可以得到 形函数即为： （2）用面积坐标来表达形函数： ox o x y 图７－9 １ ２ ３ M(x,y) 　　　　　 三角形１－２－３的面积记作　　, 令　 则Ｍ的位置确定后，L1、L2、L3的值即完全确定。反过来，L1、L2、L3给定后，Ｍ点在单元内的位置也完全确定。（L1、L2、L3）称为Ｍ点的面积坐标。 显然，节点１的面积坐标为　　（１，０，０） 节点２的面积坐标为　　（０，１，０） 节点３的面积坐标为　　（０，０，１） 点Ｍ的面积坐标（L1、L2、L3）和总体坐标（x、y）之间存在着线性关系 其中 用面积坐标作为三角形单元的自然坐标时，只要利用单元形状函数的性质就可以直接写出相应的插值函数，即针对某一节点的形状函数，有在该节点的函数值为1，而在其他的节点处为0这一性质，用数学表达式表示为： 对图示的三节点单元，形状插值函数由一个线性函数构成。由上式，对于每个角点，可用通过其他两个角点的直线方程的线性函数来构成。例如对于节点1，可用2-3边的边方程来构成它的插值函数，即，其他两个角点也类似，该单元的形状函数为 即线性函数单元的三个形状插值函数就是三角形单元的三个面积坐标。 5．二跨两端固定等截面梁如图示。在右跨受有向下的均布荷载q。试用有限元方法完成：（1） 简支处的转角及约束反力；（2）梁的剪力图与弯矩图。 q2LL q 2L L 解答：（1）有限元方法分析如下： eq \o\ac(○,1)结构的离散化和编号，可将该梁划分为两个单元，并标记为 eq \o\ac(○,1)、 eq \o\ac(○,2)，节点分别标记为1、2、3每个单元的节点处有两个独立的位移以及转角。并且假定的位移场v是x的三次函数。节点列阵记为 对分布外载荷进行等效节点计算，有节点载荷列阵 其中、为节点1的垂直支反力和支反力距，、分别为节点2、3的垂直支反力。 eq \o\ac(○,2)对各个单元进行描述，梁单元的单元刚度矩阵可以描述为： 对单元1只需将式子中的L用2L代入即可，单元2即为上式。 eq \o\ac(○,3)建立整体刚度矩阵方程，其中 经过整理最后可得： eq \o\ac(○,4)边界条件的处理以及刚度方程求解 其中边界条件是，将此式代入上式后可以得到 ， （2）作出梁的剪力图和弯矩图： 先写出剪力的表达式为：