有限元大作业（.docxVIP

有限元基本理论及工程应用大作业 学 院：机械工程学院 班 级 : 机械(硕)81班 组 员：杨杰龙 2008014022 张李军 2008014028 吉博文 2008014012 刘光辉 2008014017 胡 飞 2008014009 1 对一维有限元问题 （1）推导出三点二次单元的形函数，给出相应的图形，并与两点线性单元进行比较； （2）若用三点二次单元对图示一端固定，弹性模量为E，截面面积为A的等直杆轴向拉压问题进行有限元分析，试给出总体有限元方程。 （3）给出左端点的位移。 L/4 L/4 L3/4 F 3F 解：（1）三点二次单元： -10 -1 0 1 i j m 设： 解得： 所以形函数： 两点线性单元： （2）对一个单元ij 对于1号单元： 对于2号单元： 组装总体刚度矩阵： （3）考虑约束条件：=0， 解得： 2、热传导问题的有限元分析。（1）推导对应二维热传导的“能量泛函”（2）用四节点线性形函数表示该“能量泛函”并写出其对应的一般的矩阵形式。 解：（1）二维热传导的能量泛函为： U = 推导过程：二维温度场相应的微分方程和边界条件为 ? 能量泛函Ue的变分为（对求导后令ε=0） δ = 通过化简可得到： δ 泛函取极值的必要条件是δU - 再有变分法基本预备定理便得， ? 由题意满足边界条件。即能量泛函为U （2）由题意：四节点等参元的插值函数为 ε= 代入温度值T: T= 其中形状函数为 N 坐标函数： ξ= x= 通过坐标变换 令 A=?T?ξ XC=?x?ξ= YC=?y?ξ= 将他们代入泛函Ge G Ge 对温度Ti ?Ge?T 写成矩阵的形式 ? 其中kkij=s=1 同理可以得到 ? 其中zzij=s=1 因为? 所以? 令[KK] 可得：? 其中[KK]4×4 3． 使用四节点四边形单元的形函数推导热传导问题的单元刚度矩阵。 四结点等参数单元的插值函数为，采用它作为温度插值函数并代入温度值T，得到 形函数为 （i=1~4） 假设局部坐标系下的单元形状、结点排列和边的定义如下图所示，节点坐标为1：（-1，-1），2：（1，-1），3：（1,1），4：（-1,1）。 因此坐标函数为 （3-1） （3-2） 根据 得到 令，，， 则 得到 （3-3） ds与或之间的变换为 当ds在2号、4号边时，=常数，=0，则；当ds在1号，3号边时，=常数，=0，则。 为便于推导，写成统一的格式为： （3-4） 令 其中为单元内任一点处的温度值，（i=1,2,3,4）为结点处的温度值。 由式（3-2），有 ， ， 将它们代入能量泛函式，经过坐标变换，有 （3-5） 为方便后面求泛函极值，这里先写出对温度的偏导数： 将上式按i=1,2,3,4展开，并写成矩阵形式，有 式中包含的XC，XA，YC，YA，，均与温度T无关，只是的函数，而A和B则是结点温度，，，的函数。 又由于 所以 i=1,2,3,4；j=1,2,3,4 类似的，可以得到 i=1,2,3,4；j=1,2,3,4 回到温度泛函式，对温度求导，有 令 则 其中， 即为单刚阵最后形式。 4、在总体坐标系中有一个任意三角形，设三个节点的坐标分别为： 节点1：（x1, y1） 节点2：（x2, y2） 节点3：（x3, y3） （1）试推导其总体坐标系中的形函数。 （2）证明（1）给出的形函数与用面积坐标表达的形函数等价。 解： （1）如图为总体坐标系中的任意三角形单元。节点编号是1、2、3。节点位移是( u1, v1 )、( u2, v2 ) 、( u3, v3 )　单元结点位移为 假定单元内位移场函数u, v为x, y的线性函数 其中： ~ 为待定常数，在节点处可以解出： 其中，=det DA= + + = 这里其实可