高等代数 (76)古今数学思想.pdf

第四章 多项式 4.8 有理系数多项式 4.8.1 本原多项式 一、本原多项式 本节目的: 在 上分解有理系数多项式 等价于在 上分解整系数多项式 (1) ℚ , ℤ ; 给出有理系数多项式 不 可约性判别的一些方法 (2) ℚ -( ) . 讨论关键 本原多项式的概念和性质 (3) : . 事实1: ℚ- : 存在任意正次数 不可约的有理系数多项式 n f x x 2   将用Eisenstein判别法证明. 事实2: 有理系数多项式化为特殊的整系数多项式的基本技巧: qn n q1 q0 0 f x x  x  x , 整数p 与q 互素 1 in , q 0     i i   n pn p1 p0 令c pp p  cf x 整系数 0 1 n   设 cf x 所有系数的最大公因数为d   c  f x  x 所有系数的最大公因数为1     d 本原多项式: n n1 满足 b , b , , b 1. 0 g x bx b x b  x     n n1 0   n n1 0 例1. axb a, b 本原a, b互素 性质1. f x  x 正次数f x rg x , r ,g x         其中  本原. f x sh x , s,h x rs, g x h x . 进而若     其中   ,     本原 则 证明: 可表性 由事实 即得 : 2 . s g x h x 本原 rg x sh x      唯一性: