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第三章 n维向量空间
3.4 线性方程组解的结构
3.4.1 齐次方程组解的性质和基础解系
一、齐次方程组解的性质和基础解系
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0,
a21 x1 a22 x2 a2n xn 0,
即AX = 0, 平凡解:X = 0(零解)
am 1 x1 am 2 x2 amn xn 0,
相关结论回顾:
设A , , , , 则下列命题等价:
1 2 n
(1) AX = 0有非零解;
(2) R(A) n;
(3) , , …, 线性相关.
1 2 n
1. 解的性质, 基础解系的定义:
设 , , , 是AX = 0 的解, k , k , k F , 则
1 2 r 1 2 r
(1) 两解之和是解: ξ + ξ 是AX = 0 的解;
1 2
A A A 0
1 2 1 2
(2) 数乘解是解: k ξ 是AX = 0 的解;
1 1
A k k A 0
1 1 1 1
(3) 解的线性组合是解:
A k k k
1 1 2 2 r r
A k A k A k 0 0 0 0
1 1 2 2 r r
给定齐次线性方程组Amn X 0, 令
S F n A 0 AX = 0 , :
表示 全部解所成集 则
(1) 0 S , 即AX = 0 总有一个平凡解X = 0;
对线性运算封闭 即 , S , k , k F k k S .
(2) S , 1 2 1 2 1 1 2 2
S 的一个极大无关组称为AX = 0 的基础解系.
, , AX = 0 ,
设 1 r 是 的一个基础解系
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