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第一章 矩阵及其初等变换
1.3 逆矩阵
1.3.3 可逆矩阵的刻画
三. 可逆矩阵的刻画
定理. A n :
设 为 阶矩阵,则如下命题等价
(1) A是可逆的; (2) AX = O 只有零解;
与 行相抵 可表为有限个初等矩阵的乘积
(3) A I ; (4) A .
证明: (1)→(2) 显然(why?) (2)→(3) 系列初等行变换
设A B 行简化阶梯形
AX 0 与BX 0 同解
BX 0 只有零解 BX 0 的受约束变元数 n
题设: AX 0 只有零解
B 的最后一行不是全0行B 的竖直方向总阶梯数为n
B 的水平方向总阶梯数为n,
水平方向每次阶梯数 竖直方向
B 水平方向每次阶梯数为1 B 行简化 每行第一个非零元1恰在对角线上 B I
设 为 阶矩阵,则如下命题等价
定理. A n :
(1) A是可逆的; (2) AX = O 只有零解;
与 行相抵 可表为有限个初等矩阵的乘积
(3) A I ; (4) A .
证明: (3)→(4) 由题设 可经行初等变换得
, A I.
故存在初等矩阵E ,, E 使得 E E A I .
1 k k 1
A E 1 E 1I E 1 E 1
1 k 1 k
由初等矩阵的逆E 1 仍为初等矩阵即得!
i
(4)→(1) 由初等矩阵均可逆以及可逆矩阵的乘积可逆即, 得!
. A n , AX = b
推论 设 为 阶矩阵 则 有唯一解 A 可逆.
证明: 充分性 即 1
A , AX b X A b .
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