高等代数 (41)古今数学思想.pdf

第二章 行列式 2.6 分块矩阵的初等变换 2.6.2 秩的等式 二. 秩的等式 A O 例1. 证明:R R A R B .       O B 证明: 设R A r, R B s, P, Q , P , Q 使得     则存在可逆矩阵 1 1 2 2 I Or  I Os  A P Q , B P Q 1   1 2   2 O O O O  I Or   I Or   P1  Q1 O    O  A O O O P O O O Q O    1   1 O B  I Os   O P2  I Os O Q2   O P Q   O   2 O O 2  可逆  O O 可逆 A O 秩为r+ s R rs R A R B O B     2 R AI R AI n n A A I. 证明:     例1. 设 阶方阵 满足 AI O  I O 证明: 只需证明: R R      O AI O O 有如下分块矩阵的初等变换: AI O  AI O   2I IA  O AI AI AI AI AI 2I IA  2I O  1 2 O O O AI IA     2  初等变换不改变矩阵的秩因, 此: