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北京高考网 北达教育：高考名师一对一 010 PAGE PAGE 1 北京高考网—北达旗下 北达教育：高考名师一对一 电话 010北京市部分区高三上学期考试数学理试题分类汇编：解析几何解答题 1、（2017.1朝阳理）已知椭圆上的动点与其顶点,不重合． （Ⅰ）求证：直线与的斜率乘积为定值； （Ⅱ）设点，在椭圆上，为坐标原点，当,时，求的面积． 解：（Ⅰ）设，则． 所以直线与的斜率乘积为．……4分 （Ⅱ）依题直线的斜率乘积为． ①当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，设直线的方程 是，由得，． 取，则．所以的面积为． ②当直线的斜率存在时,设直线的方程是, 由得．因为，在椭圆上， 所以，解得． 设,,则，． ． 设点到直线的距离为，则． 所以的面积为 = 1 \* GB3 ①． 因为,，直线,的斜率乘积为，所以． 所以． 由，得． = 2 \* GB3 ② 由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②，得．综上所述，．…13分 2、（2017.1昌平理）椭圆的焦点为,，且点在椭圆上.过点的动直线与椭圆相交于两点,点关于轴的对称点为点（不同于点）. ( = 1 \* ROMAN I) 求椭圆的标准方程； ( = 2 \* ROMAN II)证明：直线恒过定点，并求出定点坐标. 解：( = 1 \* ROMAN I)法一设椭圆的标准方程为.由已知得解得. 所以椭圆的方程为. …………6分 法二设椭圆的标准方程为. 由已知得，. 所以， .所以椭圆的方程为. ………6分 论先猜后证的重要性( = 2 \* ROMAN II)法一 当直线的斜率存在时（由题意），设直线的方程为. 由得.设，. 则特殊地，当为时，， 所以，，，即. 所以点关于轴的对称点，则直线的方程为. 又因为当直线斜率不存时，直线的方程为， 如果存在定点满足条件，则. 所以，， 又因为 ， 所以，即三点共线.即直线恒过定点，定点坐标为. …14分 法二 ( = 2 \* ROMAN II) = 1 \* GB3 ①当直线的斜率存在时（由题意），设直线的方程为 . 由，可得. 设，则. 所以因为，所以直线的方程为：. 所以 . 因为当，所以直线恒过点. = 2 \* GB3 ②当不存在时，直线的方程为，过定点. 综上所述，直线恒过定点，定点坐标为. …………14分 3、（2017.1西城理）已知直线与椭圆相交于，两点，是椭圆上一点． （Ⅰ）当时，求△面积的最大值； （Ⅱ）设直线和与轴分别相交于点，，为原点．证明： 为定值． 解：（Ⅰ）将代入，解得，所以．[2分] 当为椭圆的顶点时，到直线的距离取得最大值，[4分] 所以△面积的最大值是．[5分] （Ⅱ）设两点坐标分别为，，从而．[6分] 设，则有，，．[7分] 直线的方程为，令，得，从而．[9分] 直线的方程为，令，得，从而．[11分] 所以 ．所以为定值．[14分] 4、（2017.1东城理）已知椭圆经过点，离心率为．是椭圆上两点，且直线的斜率之积为，为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若射线上的点满足，且与椭圆交于点，求的值． 解：（Ⅰ）由题意得 解得．所以椭圆的方程为． 5分 （Ⅱ）设． 因为点在直线上且满足，所以．因为三点共线，所以． 所以， 解得 因为点在椭圆上，所以．所以． 即， 因为在椭圆上，所以，． 因为直线的斜率之积为，所以，即． 所以，解得．所以． …………………14分 5、（2017.1丰台理）已知抛物线：的焦点为F，且经过点，过点的直线与抛物线交于，两点. （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）为坐标原点，直线，与直线分别交于，两点，试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 解：（Ⅰ）把点代入抛物线的方程，得，解得， 所以抛物线的方程为.…….4分 （Ⅱ）因为，所以直线为，焦点的坐标为 设直线的方程为，，， 则直线的方程为,直线的方程为. ……………….5分 由得，同理得． ……………….7分 所以，，则． ……………….9分 由得，所以， ……………….11分 则．所以，的值是定值，且定值为0. ……….13分 6、（2017.1海淀理）已知是椭圆G：上的两点． （Ⅰ）求椭圆G的离心率； （Ⅱ）已知直线l过点，且与椭圆交于另一点（不同于点），若以为直径的圆经过点，求直线l的方程． 解：（Ⅰ）由已知由点在椭圆G上可得，解得. 所以，所以椭圆G的离心