数学分析讲义三.pdf

第三章 一元函数微分学 本章主要内容有：一元（隐）函数求导方法、微分中值定理、Taylor 公式、不等式的证 明、凸函数、导数的应用（极值、函数作图等）等. I 基本概念与主要结果 一 导数与微分 1 导数 定义1 设函数y f (x ) 在点x 0 某领域内有定义，若极限 ( ) − ( ) f x f x 0 lim x →x0 x −x 0 x x f ′(x ) 存在，则称函数 在点 处可导，并称该极限为函数 在点 处的导数，记作 . f 0 f 0 0 等价形式： f x +Δx −f x + − ( ) ( ) ( ) ( ) ′ 0 0 f x 0 h f x 0 Δy f x ( 0 ) lim lim lim . Δ→x 0 Δx h→0 h Δ→x 0 Δx 当上述极限不存在时，可研究其单侧极限，即左右导数. 左导数：设函数 在点 的左领域 y f (x ) x 0 (x0 −δ, x0 ) 上有定义，若左极限 f (x 0 +Δx ) −f (x 0 ) lim (−δ Δx 0) Δ→x 0− Δx x f ′(x ). 存在，则称该极限为函数 在点 左导数，记作 f 0 − 0 类似可定义右导数： ′ f (x 0 +Δx ) −f (x 0 ) f +(x 0 ) lim （0 Δx δ ）. Δ→x 0+ Δx 左右导数统称为单侧导数. x ⇔ 在点x 的左右导数存在，且相等. 可导的充要条件： 在点 可导 f 0 f 0 有限增量公式：设f (x ) 在点x 0 可导，则 f x x f x ( )