专题40空间点、直线、平面之间的位置关系(教学案)-2017年高考数学(理)一轮复习精品资料.pdf

1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理； 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 1．平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论 2 ：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论 3 ：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．空间中两直线的位置关系 (1)位置关系的分类 平行 共面直线 相交 异面直线：不同在任何一个平面内 (2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a ′∥a，b ′∥ b，把 a ′与 b′所成的锐角 (或 直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角 (或夹角 )． π ②范围： 0， ． 2 (3)平行公理和等角定理 ①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 第 1 页 共 26 页 高频考点一 平面基本性质的应用 例 1、如图所示，正方体 ABCD —A B C D 中， E 、F 分别是 AB 和 AA 的中点．求证： 1 1 1 1 1 (1) E、C 、D1 、F 四点共面； (2) CE、 D1F、 DA 三线共点． 证明 (1)如图，连接 EF ，CD 1，A1B. ∵E、 F 分别是 AB 、AA 1 的中点，∴ EF ∥BA1. 又 A 1B ∥D 1C ，∴ EF ∥CD 1 ， ∴E、 C、D 、F 四点共面． 1 (2) ∵EF ∥CD 1 ，EFCD 1 ， ∴CE 与 D 1F 必相交， 设交点为 P ，如图所示． 则由 P ∈CE， CE? 平面 ABCD ，得 P ∈平面 ABCD . 同理 P ∈平面 ADD A . 1 1 又平面 ABCD ∩平面 ADD 1A 1＝ DA ， ∴P ∈直线 DA .∴CE 、D1F 、DA 三线共点． 【感悟提升】 公理 1 是判断一条直线是否在某个平面的依据； 公理 2 及其推论是判断或证明点、 线共面 的依据；公理 3 是证明三线共点或三点共线的依据． 第 2 页 共 26 页 【变式探究】如图，平面 ABEF ⊥平面 ABCD ，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形，∠ BAD ＝ 1 1 ∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且 BC ＝ AD ，BE∥AF 且 BE＝ AF ，G 、H 分别为 FA、 FD 的中点． 2 2 (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2) C、D 、F、 E 四点是否