矩形的性质和判定[参考].docxVIP

文档收拾 | 学习参阅 collection of questions and answers 初中数学 矩形的性质和断定 编稿教师 巩建兵 一校 黄楠 二校 杨雪 审阅 宋树庆 【考点精讲】 【典例精析】 例题1 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF中点。设AM的长为x，试求x的最小值。 思路导航：依据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四边形AEPF是矩形，所以AM＝EF＝AP，在Rt△ABC中使用AP求出x的最小值。 答案：解：衔接AP，∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2＋AC2＝36＋64＝100，BC2＝100，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝∠BAC＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∵∠BAC＝90°，M为EF中点，∴AM＝EF＝AP，当AP⊥BC时，AP值最小，此刻S△BAC＝×6×8＝×10×AP，AP＝4.8，即x的最小值为2.4。 点评：本题考察了垂线段最短，三角形面积，勾股定理的逆定理，矩形的断定等的使用，要害是求出AP的最小值和得出AM与AP的数量联系。 例题2 请看下面小明同学完结的一道证明题的思路： 如图1，已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，垂足是D，P是BC边上恣意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足别离是E、F。求证：PE＋PF＝CD。 证明思路：如图2，过点P作PG∥AB交CD于点G，则四边形PGDE为矩形，PE＝GD；又可证△PGC≌△CFP，则PF＝CG；所以PE＋PF＝DG＋GC＝DC。 如图3，若P是BC延伸线上恣意一点，其他条件不变，则PE、PF与CD有何联系？请你写出定论并完结证明进程。 思路导航：选用与标题相同的思路，过点C作CG⊥PE，使用矩形的性质和全等三角形的性质确认PE、PF、CD之间的联系。 答案：定论：PE－PF＝CD。 证明：过点C作CG⊥PE于点G，∵PE⊥AB，CD⊥AB，∴∠CDE＝∠DEG＝∠EGC＝90°。∴四边形CGED为矩形。∴CD＝GE，GC∥AB。∴∠GCP＝∠B。∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。∴∠FCP＝∠ACB＝∠B＝∠GCP。在△PFC和△PGC中，∠F＝∠CGP＝90°，∠FCP＝∠GCP，CP＝CP，∴△PFC≌△PGC（AAS）。∴PF＝PG。∴PE－PF＝PE－PG＝GE＝CD。 点评：本题经过结构矩形和三角形全等，使用矩形和全等三角形的断定和性质求解。回答这类阅览了解问题，读懂标题供给的解题思路是解题要害。 例题3 如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，F为BA延伸线上的一点，AE平分∠FAC，DE∥AB交AE于点E。 （1）求证：AE∥BC； （2）求证：四边形AECD是矩形； （3）BC＝6cm，SAECD＝12cm2，求AB的长。 思路导航：（1）先依据已知条件求出AD⊥BC，再依据AE平分∠FAC，得出∠EAD＝90°，然后证出AE∥BC；（2）先断定四边形AECD是平行四边形，再依据∠ADC＝90°，证出四边形AECD是矩形；（3）由BC＝6cm，得出CD＝3cm，再依据SAECD＝12cm2，得出AD＝4，使用勾股定理求出AC的长即可。 答案：（1）证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AE平分∠FAC，∠FAE＋∠EAC＋∠CAD＋∠BAD＝180°，∴∠EAC＋∠CAD＝∠EAD＝90°，∴AE∥BC； （2）证明：∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠ADC＝90°，∴四边形AECD是矩形； （3）解：∵BC＝6cm，∴CD＝3cm，∵SAECD＝12cm2，∴AD＝4，∴AB＝AC＝＝5，∴AB的长是5cm。 点评：此题考察了矩形的断定和性质的归纳使用，用到的知识点是平行四边形的断定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理等，这类问题一般要归纳使用各种有关性质，是中考出题的热门。 【总结提高】 关于矩形的断定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形。②对角线持平的平行四边形是矩形。③有三个角是直角的四边形是矩形。④对角线持平且相互平分的四边形是矩形。阐明：长方形和正方形都是矩形。 关于矩形的性质：①矩形的4个内角都是直角；②矩形的对角线持平且相互平分；③矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。④矩形具有平行四边形的一切性质。 矩形的对角线把本身分红若干个直角三角形和等腰三角形，因而许多矩形问题都可以转化