无穷小和无穷大 高等数学教学PPT课件.ppt

极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 观察各极限 不可比. 不存在. 1、无穷小的比较 . 1 sin , sin , , , 0 2 2 都是无穷小 时 当 x x x x x x ? x2比3x要快得多; sinx和x大致相同; 五、无穷小的比较 定义. 若 若 若 若 设 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 ? 是 ?的 低阶无穷小; 则称 ?是 ? 的同阶无穷小; 则称 ?是 ? 的等价无穷小, 记作 则称 ? 是 ? 的高阶无穷小, 例如 , 当 ～ 时 ～ ～ 又如 ， ～ 定理1 . 设 且 存在 , 则 证: 例如, 利用等价代换可简化某些极限的运算. 例. 求 解: 原式 常用等价无穷小 : 作业：p29:1.p30:11 p29:2.(1)--(8) 5.(1);(2);(4);(8).8.(1);(4)  结束 下页 结束 返回 下页 结束 返回 1.3无穷小和无穷大 五、无穷小的比较 二、无穷大 三、极限的四则运算 四、极限存在的两个准则与两个重要极限 一、无穷小 当 一、 无穷小 定义1 . 若 时 , 函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 时为无穷小. 则称函数 时的无穷小 . 为 其中? 为 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 证: 当 时,有 对自变量的其它变化过程类似可证 . 时, 有 无穷小性质 定理2. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 类似可证有限个无穷小之和仍为无穷小 . 设函数u在x0的某一去心邻域{x|0?|x?x0|??1} 内有界, 即?M?0? 使当0?|x?x0|??1时? 有|u|?M? 又设?是当x?x0时的无穷小? 即???0? 存在?2?0? 使当 0?|x?x0|??2时? 有|?|?? ? 取??min{?1? ?2}? 则当0?|x?x0|?? 时? 有 |u??|?|u|?|?|?M? ? 这说明u?? 也是当x?x0时的无穷小? 证明: 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小? 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小? 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小? 例1. 求 解: 利用定理 3 可知 说明 : y = 0 是 　　的水平渐近线 . 二、 无穷大 1、定义2 . 若任给 M 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 (正数 X ) , 记作 总存在 注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 . 渐近线 说明: 2、无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理4. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 三、 极限的四则运算 (2)lim f(x)?g(x)=lim f(x)?lim g(x)=A?B? 推论1 如果lim f(x)存在? 而c为常数? 则 lim[c?f(x)]=c?limf(x)? 推论2 如果limf(x)存在? 而n是正整数? 则 lim[f(x)]n=[limf(x)]n ? 定理5 如果 lim f(x)=A? lim g(x)=B? 那么 (1)lim[f(x)?g(x)]=limf(x)?limg(x)=A?B? 证: (1)因 则有 (其中 为无穷小) 于是 由定理 2可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知结论(1)成立 . 由定理 3可知 和 是无穷小, 再由定理 2 可知 是无穷小, 从而结论(2)成立. 返回 求极限举例 讨论 例1 解 例2 解 解 例3 解 例4