特殊数列的通项公式的求法.docVIP

PAGE PAGE 5 递推数列的通项公式的求法 高中数学中经常遇到求递推数列通项公式的问题，许多学生对此感到十分困难。其实好多递推数列都是转化成等差数列或等比数列来处理的，我们只要抓住各种类型数列的结构特征，要求出它们的通项公式也不难。下面逐一举例说明。 类型一： 分析：因为，所以，用叠加法，有 即： 这样只要求出也就求出来了。 例1：已知数列满足，，求通项公式。 解：由题可得，由叠加法，得 练习1：已知数列满足，求数列的通项公式。（答案：） 类型二： 分析；因为，所以，用叠乘法,， 即，这样求出。 例2：已知数列满足，求通项公式。 解：由题意得：，叠乘，得 练习2：已知数列满足，，求通项公式（答案：） 类型三：形如，（其中p,q为非零常数） 分析：由待定系数法，设，其中，进而构造一个等比数列。 例3：已知数列满足，（n1)，求此数列的通项公式。 解：设， 即：，， 构成等比数列，首项为2，公比为2，通项公式为 当n=1时，，也满足通项公式 所以数列的通项公式为 点评：本题也可以构造，两式相减得，，转化成等比数列，再用类型一，由叠加法求解。 迭代法 = = = 而是一个等比数列，求出其和，即可求出通项。 练习3：已知数列中，，求的通项公式。（答案：） 类型四： 分析：两边同时除以，得，转化为等差数列来解。 例4. 已知数列满足，，求数列的通项公式。 解：两边除以，得，则， 故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。 练习4：已知数列中，,，求（答案：） 类型五 ：( f(n)是一次多项式) 分析：由待定系数法设，求出A,B，再转化为等比数列来解决。 例5. 设数列中，，求的通项公式。 解：设 与原式比较系数得： 即 令 点评：若为的二次式，则可设。 练习5. 已知数列满足，，，求通项公式（答案:） 类型六： 分析：由待定系数法设，求出t，再转化为等比数列来解决。 例6 设数列中，，求的通项公式。 解：设，展开后对比得： 令 点评：本题也可以同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型，由类型一求解．对于类型，由待定系数法设,求出t,s，再转化为等比数列来解决。 练习6：已知数列满足，求数列的通项公式（答案：）。 类型七 递推公式为（其中p，q均为常数）。 分析：有待定系数法设为，其中s，t满足，求出p,q,然后转化为等比数列来解决。 例7. 已知数列中，,,，求。 解：由可转化为 即或 这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即 又，所以。 练习7.数列中，，求数列的通项公式。（答案：）