一类数列求和公式的推广.docx

一类数列求和公式的推广 武汉市江夏区一中 李新桥 在高中数学“数列”这一章，我们经常用到数列 an = n2的前n项和公式，即 = 12 + 22 + 32 +…+ n 2= 16n(n+1)(2 n+1)，同时也会用到数列 an = n3的前n项和公式， 3 3 3 3 1 2 2 45 即Sn = 13 + 23 + 33 +…+ n3= 4 n (n+1) 2如果将通项的次数升高， 例如a.= n , a. = n或 m an = n ，其前n项的和又将怎样求呢？ 4 这是一个有趣的数学问题， 我们不妨先求an= n 的前n项和，看看能不能得到什么启 示。 构造等式：(k+1)(k+2)(k+3) = k4+6k3+11 k2+6k 又 k(k+1)(k+2)(k+3)= 5 [ k(k+1)(k+2)(k+3) (k+4) -(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)] ??王 k(k+1)(k+2)(k+3)= 刀(k4 +6k3+11 k2 +6k)=刀 k4+6刀 k3+11 刀 k2+6刀 k=刀 k4 + TOC \o 1-5 \h \z 3 2 31 29 n(n +1)[ 2 n + 6 n + 6 ] 1 又 刀 k(k+1)(k+2)(k+3)= 5 刀[k(k+1)(k+2)(k+3) (k+4) -(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)]= 1 5 [(1 X 2X 3X 4X 5-0)+( 2X 3X4X 5X 6-1 X 2X 3X4X 5)+ …+ n(n +1)(n+2)(n+3) (n+4) 1 -(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)]= 5 n(n+1)(n+2)(n+3) (n+4) =4 1 3 2 31 29 ???刀 k = 5 n(n+1)(n+2)(n+3) (n+4) - n(n+1)[二 n + 6 n + 石] =1U 切 =1U 切(n+1)(3 2 n +3n-1) 由以上的解法可以得到一些启示， 即这种形式的一类数列求和问题， 能否都可以采用前 后各添一项的办法，裂成相邻连续自然数之积的差，以便于前后相互抵消呢？ 5 我们再用这种方法来试一试 an = n的前n和. 构造等式：k(k+1)(k+2)(k+3) ( k+4) = k5+10k4+35 k3+50k2+24k 又 k(k+1)(k+2)(k+3) ( k+4 ) = 6 [ k(k+1)(k+2)(k+3) ( k+4 ) (k+5)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)] 刀 k(k+1)(k+2)(k+3) ( k+4 )=刀 k5 +10 刀 k4 +35 刀 k3 +50 刀 k2 +24 刀 k=刀 5 3 47 2 103 k +n(n+1)[2 n + ~4 n + t n+20] 又刀 k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4 又刀 k(k+1)(k+2)(k+3) (k+4 ) = q 刀 [k(k+1)(k+2)(k+3) (k+4 ) (k+5)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]=1 (k+5)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]= q [(1 X 2X 3X 4X 5X 6-0)+(2 X 3X 4X 5X 6X 7-1 x 2 X 3 X 4X 5X 6)+ …+ n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]= 1 6 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5) ?E k5 = 1 :q n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)- n(n+1)[2 1 3 47 2 103 2 2 2 n + 4 n + 车 n+20]= 12 n (n+1) (2 n +2n-1) 因此，这种方法对于 m=5也成立，故可以推广到数列 an = n ^（mG N*）的求和之中。 构造等式： k(k+1)(k+2)…(k+m-1)=k m+cm km—1+ …+(m-1) ! k 又 k(k+1)(k+2) …(k+m-1)=(m+1) ——i [k(k+1)(k+2) …(k+m-1)(k+m)- (k-1)k(k+1)(k+2) …(k+m-1)] E k(k+1)(k+2) … (k+m-1)= (m+1) —1 E [k(k+1)(k+2) (k+m-1)(k+m)-(k-1)k(k+1)(k+2) —1 …(k+m-1)]= (m+1) 1 n(n+1)( n+2) …(n+m) ???刀 km=(m+1) —1n(n+1)(n+2)…(n+m)-[ 採 刀 km — 1 + …+(m-1) ! E k] 当刀km—1,E