正项级数敛散性判定方法的探讨与应用.doc

正项级数敛散性判定方法的探讨与应用 东和初中：王海彬 摘 要：判断正项级数收敛有多种方法，但每一种方法都有它白身的特点与局限.木文主要分 析几种常用判别方法间的联系和区别，以及它们本身的特点和局限，同时研究如何更好地应 用这些定理来解题. 关键词：正项级数;收敛；发散 The Discussion and Application of theDetermination Method for the Convergenceand Divergence of the Positive Series （The Middle School Of Dong He: Wang Hai Bin） Abstract: There are many kings of methods in judging a positive series converging, but every method has its own characteristic and limitation. This text mainly analyzes several kinds in judging connection and difference among the methods daylily, and there characteristic and limitation of themselves, studies how to employ these theorem to solve a problem better meanwhile ? Key Words: Pos 让 ive series; Conv ergence; Diverge nee 1引言 我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上往往只是 对定理木身做一个证明，然后举几个简单应用的例子就好了，没有做过多的分析. 但是，我们在实际做题n时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好; 有时用这种或那种方法时，根本做不出來，也就是说，定理它本身存在着一些局 限性?因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢，定理与定 理之间会有些什么联系和区别呢，做题h时如何才能更好得去运用这些定理呢？ 这就是本文所要讨论的. 1. 1问题出发点 《数学分析》（文献［1］）第十二章介绍了几种我们比较常用的正项级数的判 定定理： TOC \o 1-5 \h \z PC QC 定理12?6:（比较原则）有两个正项级数工知，工乙 若存在口然数N ,当 /|=| /|=| 兀 N 吋，有 un cvn , c 0 ,贝U 00 00 1）若级数”收敛，则级数￡知也收敛； n=l n=l 00 8 2）若级数￡知发散，则级数￡叫也发散. /|=1 ”=1 i）若存在N, nN时有 i）若存在 N, nN 时有 U,t+} q\ W,,+1 q\ 不能换为 畑V 1 ) 0C 则级数￡如收敛（注意n=I ii)若存在N, nN时有 ^- 1Un 8 则级数￡血发散.n=l 定理12.7: 0C （达朗贝尔判别法或比值判别法）有正项级数￡知 /?=! oc 定理12.8:（柯西判别法或根式判别法）有正项级数￡知 n=l s i）若存在N, n、N吋有 ^q\ ,则级数工知 收敛（注意 心 诉7 q\不能换为诉7 1） 8 ii）若存在无限个〃，有飯则级数￡冷发散 n=l 1.2补充 1. 2. 1等比级数a + + +??? +两+… 的收敛性（°工0） 当qHl时，级数的第〃个部分和 1 z n S“ =a + aq + aq2 H F ciq_ = a 因廿匕 —q i ）当1^1 1时，limS〃=lima?上尤=上一? 此时级数收敛，其和为 “Ts -oc | — q ] — q ii） 当彳 1时，lim5?=oo,级数发散. 7?—CO iii） 当q = l吋，Spa,级数发散. iv） 当 q = -\ 时，S2.=0, S2,+1 = tz, ￡=0,1,2,…，级数发散. 总之，|q| 1时，级数收敛；|q|nl时，级数发散. 1.2.2 级数工讦的敛散性 函数/⑴二丄，当P 0时在［1,+00）［1,00）上是非负减函数?由反常积分 A 「牛在“I吋收敛，pm发散知，由积分判别法的，工丄：当“1时 』X II 收敛；当0 心时发散；当“50时，明显可得，它是发散的. 2判定定理的发展 2. 1整体发展 正项级数，是指级数屮各项的符号均为正号的级数，它是数项级数屮最简单 也是最有代表意义的数项级数?所以它收敛的最基本的判别方法也是从级数的 判敛性质中引出: 定理1正项级数工冷收敛饿充要条件是：部分和数列｛S”｝有界，即存在某 正数M ,对一切