水力压裂二维模型综述.doc

一、PK模型 在PK模型垂直性裂缝如(图4.4)的扩展有如下假设: 裂缝有一个固定高度，与缝长无关。 与裂缝扩展方向垂直的横截而屮的液体压力P为常数。 垂直平面存在有岩石的刚度，它抵抗在压力P作用下产牛的形变。换句 话 说，每一个垂直截面独立变形，不受邻近截面的妨碍。 由此，在这些横截面屮，方程4.3将缝高hf,液体压力P和该点的裂缝 宽 度联矣起来：这些横截面为一个椭圆形，其屮心最大宽度为， wx,t . 1 ,hfp H G (4.13) 用在一个狭窄的椭圆形流动通道屮的流动阻力來确定裂缝扩展方向或x 方 向申液体压力梯度，对于牛顿流情况 ? .p H64q (4.14) 3 x whf ?在没有特殊理由吋，缝 x Nordgrcn修改了裂缝宽度增长对流量的影响，修改后的连续性方程如下： h w q f (4.15) x4 t 通过(4.15)从方程(4.13)消去p H= p—项,得到关于的非线性偏微 分方程， G 2w2 w ~ 0 (4.16) 641 hf x2 t 满足初始条件： 当 t=0 吋，vyx,0-0 边界条件： x Lt xyx,t 0 对于单翼裂缝? qO,t qO 对于双翼裂缝 qO,t lq0 2 1/4裂缝形状为,\yx,t wO,tlx/L裂缝体积为，V 5LhfwO,t qOt 二、GDK模型 对于一个垂直的矩形裂缝扩展模型，(图4.5)与PK理论有些相似 图4.5根据Geertsma和de Klerk结果所作层流吋裂缝线性扩展示意图 此模型有如下假设： 假设缝高依然是固定的。 仅在水平面考虑岩石刚度。由于这个原因，裂缝宽度，裂缝宽度与缝高 无关，除了井眼边界条件规定一?个不变的总注入量q。当然，每单位缝高的流量 比q/hf影响裂缝宽度，但在垂言方向上宽度不变，由于该理论是建立在平面应 变条件的基础上，由此条件得到在各个水平而里力学上令人满意的模型。然而在 实际屮应用于整个牛产层时，此模型得到相对来说较宽的裂缝，在许多现场例子 屮，这似乎比PK理论预测的较窄的裂缝更接近实际情况，关于此现象的道理还 不能充分解释。 (3 )通过计算垂直方向上各个宽度不同的细窄矩形裂缝 (4.17) w3x,t Lp x,tdx 0 2 H (4.18)方程(4.17)适用 于-侧缝长，qO取为总排量，这与在初始的PK理论屮所作的假设q 0很相 像。Biot等人已引入x的修正项。 x 根据Zheltov和Khristianovithdc建议，满足方程(4.18)的液体压力分布能由 下式近似为 o LO/L pf pO LO/L 1 pf 0 式屮LO/L 接近1. 这里可提供开始计算所需的“湿缝长”，(为承压段缝长) 0 LO/L sin (4.19) 2 此种近似通常情况下精度 足够，此外，在GDK公式屮，Kc对L0/L的贡献没略去， 0 sin H 除了紧靠裂缝周边之外，水平面里的裂缝形状为椭圆形，井眼处有 pf 最大缝宽为： wO,t 取 L 21 Lp H (4.20) G 1 hf,上式与PK理论中的式(4.13 )类似2 接下来的问题是确定pf的大小，它取决于锲形裂缝尖端附近的液体压力急剧 下降，确定液体在裂缝屮的流动阻力的一个很好的近似方程如下， w30,t71/2 ?i (4.21) 3 ?? wx,t4 将此方程代入(4.17) Z后，进一步得出单翼裂缝的体积等于, V hfLwO,t最后我们得岀， GqO 2/3 Lt 0.6 t (4.23) 3 1 hf 3 ? ? ? .1 . qo 和 w0,t 1.8 3 Gh f 1/6 1/3 1/6 10 1 M 2 1/2 d 4 hfLwOt, qOt t (4.22) (4.24) 三、两个模型的比较 表4.1和4.2对于PK, PKN和GDK模型给出了裂缝长度，最大缝宽和泵入压 力。 四、带有滤失吋的裂缝尺寸的计算 Nordgrcn扩展的PK理论 PK不考虑液体进入地层，Nordgrcn修补了这个不足。某点连续性方程成为（与 方程4.15相比较）， q hf w ql 0 （4.42） x4 t 该点qi被定义为单位缝长的滤失， qi 2hK （4.43） 因为PK模型似乎对长时间作业最为适用，在这种情况下选用近似式，式川 随 效果较好，由此导岀， L 1 qql 0 x qO 2hfkl 式屮 诒 x/L,于是此解相似于Carter 的解， 1 arcs i nqOL lq hfKl q .2 1 arcs i nqO 2 2 .qO 1/8 (4.45) GhK fl 1/4 2 2 GqO 1/8和 (4.46) GhK fl 1/41/41/4 由此推出缝宽沿缝长X的分布21/2 wx,t wO,t sinl 1五、带有滤