2412 垂直于弦的直径第1课时.ppt

24.1 圆 （第 2 课时） 赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于 隋炀帝大业年间（ 595-605 年），至今已有 1400 年的历史，是今天世界上最古老的石拱 桥。上面修成平坦的桥面，以行车走人 . 赵州 桥的特点是“敞肩式”，是石拱桥结构中最 先进的一种。其设计者是隋朝匠师李春。它 的桥身弧线优美，远眺犹如苍龙飞驾，又似 长虹饮涧。尤其是栏板以及望栓上的浮雕。 充分显示整个大桥堪称一件精美的艺术珍品， 称得上是隋唐时代石雕艺术的精品。 1991 年 被列为世界文化遗产 . 赵州石拱桥 1300 多年前 , 我国隋朝建造的赵州石拱桥 ( 如图 ) 的桥拱是圆弧 形 , 它的跨度 ( 弧所对是弦的长 ) 为 37.4m, 拱高 ( 弧的中点到弦的 距离 , 也叫弓形高 ) 为 7.2m, 求桥拱的半径 ( 精确到 0.1m). A ? B O 24.1.2 垂直于弦的直径 ——— （垂径定理） 1 、举例什么是轴对称图形。 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互 相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。 2 、举例什么是中心对称图形。 把一个图形绕着某一个点旋转 180 ° ，如果旋转后的图形 能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图 形。 3 、圆是不是轴对称图形？ 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线 都是它的对称轴。 实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几 次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径 所在直线都是它的对称轴． ● O 思考 如图， AB 是 ⊙ O 的一条弦，做直径 CD ，使 CD ⊥ AB ，垂足为 E ． （ 1 ）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （ 2 ）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ C （ 1 ）是轴对称图形．直径 CD 所在的 直线是它的对称轴 （ 2 ） 线段： AE=BE 弧：ＡＣ＝ＢＣ ⌒ ⌒ ，ＡＤ＝ＢＤ ⌒ ⌒ · O E A D B 想一想： 条件 CD 为⊙ O 的直径 CD ⊥ AB 结论 AE=BE ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD C . A O B 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦对的两条弧。 E D C 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦， 垂直于弦的直径 平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 题设 （ 1 ）直径 · O A E D B 结论 （ 2 ）垂直于弦 ｝ ｛ （ 3 ）平分弦 （ 4 ）平分弦所对的优弧 （ 5 ）平分弦所对的劣弧 ① CD 是直径 ② CD ⊥ AB 可推得 ③ AE=BE, ⌒ ⌒ ④ AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤ AD=BD. 垂径定理 三种语言 ? 定理 垂直于弦的直径平分弦 , 并且平分弦所的两条弧 . C A M └ ● 如图∵ CD 是直径 , CD ⊥ AB, B O ∴ AM=BM, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD =BD. CD 为直径 CD ⊥ AB CD 平分弦 AB D 条件 结论 CD 平分弧 ACB CD 平分弧 ADB C 推论： 平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧． A O · E B D 推论： ? 由 ① CD 是直径 ③ AM=BM 可推得 ② CD ⊥ AB, ⌒ ⌒ ④ AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤ AD=BD. C A D O A D E B B A O D C B O C A O C B C D B A O 在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等 练习 1 的线段或相等的圆弧 . D A B E O E O A O C B A A E C B C D O E O D B A E D D O C B A E C B 判断下列图形，能否使用垂径定理？ B O C A D C B O A D C B O E D C A O D 注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦） 缺一 不可！ 练习 2 1 ． 半径 为 4cm 的⊙ O 中，弦 AB=4cm , 那么圆心 O 到弦 AB 的距离是 2 3 cm 。 O A E B 2 ．⊙ O 的 直径 为 10cm ，圆心 O 到弦 AB 的 O A E O A E 距离为 3cm ，则弦 AB 的长是 8cm 。 B 3 ． 半径 为 2cm 的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 2 3 cm 。 B A . O B A C O E . D B 方法归纳 : 解决有关弦的问题时，经常 连接半径 ； 过圆心作一条与弦垂直的线段 等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。 讲解 垂径定理的应用 例 1 如图，已知