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2.5 为什么是 0.618 列一元二次方程解应用题 --- 几何问题 你知道黄金比为什么是 0.618 吗 ? ? 如图 4-5, 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC, AC BC 如果 ? , 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 , AB AC 点 C 叫做线段 AB 的 黄金分割点 , AC 与 AB 的比称为 黄金比 . A C B 学习一元二次方程之后 , 我们可以求得 AC BC ? ? AB AC 5 ? 1 2 ? 0 . 618 . 1 运用方程能解决这个问题吗 AC CB 2 解 : 由 ? , 得 AC ? AB ? CB . AB AC 设 AB ? 1 , AC ? x , 则 CB ? 1 ? x . 2 ? x ? 1 ? ? 1 ? x ? , 2 即 x ? x ? 1 ? 0 . ? 1 ? 5 解这个方程 , 得 ? x ? . ? 1 ? 5 ? x 1 ? , 2 ? 1 ? 5 x 2 ? ( 不合题意 , 舍去 ). 2 A C B 2 AC ? 1 ? 5 ? 黄金比 ? ? 0 . 618 . AB 2 ? 例 1 如图 , 某海军基地位于 A 处 , 在其正南方向 200 海里处有一目标 B, 在 B 的正东方向 200 海里 处有一重要目标 C. 小岛 D 位于 AC 的中点 , 岛上有 一补给码头 ; 小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向 . 一艘军舰沿 A 出发 , 经 B 到 C 匀速巡 航 , 一艘补给船同时从 D 出发 , 沿南偏西方向匀 速直线航行 , 欲将一批物品送达军舰 . ? (1). 小岛 D 与小岛 F 相距多少海里 ? ? (2). 已知 军舰的速度是补给船的 2 倍 , 军舰在由 B 到 C 的途中与补给船 相遇于 E 处 , 那么相遇时补给船航行 了多少海里 ?( 结果精确到 0.1 海里 ) A 北 东 D B E F C ? 解 :(1) 连接 DF, 则DF⊥BC. ? AB ? BC , AB ? BC ? 200 海里 , ? AC ? 2 AB ? 200 2 海里 , ∠ C=45 0 . 1 ? CD ? AC ? 100 2 海里 2 A DF ? CF , 2 DF ? CD . 2 ? DF ? CF ? CD 2 2 ? ? 100 2 ? 100 ? 海里 ? . 2 D 北 东 ? 小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里 . B E F C ? 解 :(2) 设相遇时补给船航行了 x 海里 , 则 DE=x 海 里 ,AB+BE=2x 海里 ,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x) 海 里 . ? 在 Rt △ DEF 中，根据勾股定理可得方程 北 ? x ? 100 ? ? 300 ? 2 x ? . 2 2 2 A 东 D ? 整理 , 得 3 x ? 1200 x ? 100000 ? 0 . ? 解这个方程 , 得 100 6 ? x 1 ? 200 ? ? 118 . 4 , 3 100 6 ? 不合题意 , 舍去 ? . ? x 2 ? 200 ? 3 B 2 E F C 答：相遇时补给船大约 航行了 118 . 4 海里 . 随堂练习 ? 1. 《九章算术》 “ 勾股”章有一题 :“ 今有二 人同所立 . 甲行率七 , 乙行率三 . 乙东行 , 甲南 行十步而斜东北与乙会 . 问甲乙各行几何 ?” 大意是说 : 已知甲 , 乙二 A 人同时从同一地点出发 , 甲的速度是 7, 乙的速度 10 是 3. 乙一直向东走 , 甲先 向南走 10 步 , 后又斜向北 B 偏东方向走了一段后与 乙相遇 . 那么相遇时 , 甲 , 乙各走了多远 ?” 乙 :3x C ? 7x-10 甲 : 解 : 设甲 , 乙相遇时所用时间为 x, 根据题意 , 得 (7x-10) 2 =(3x) 2 +10 2 . 整理得 :2x 2 -7x=0. 解这个方程 , 得 A 乙 :3x C ∴x 1 =3.5, x 2 =0( 不合题意 , 舍去 ). 10 ∴3x=3× 3.5=10.5, 7x=7 × 3.5=24.5. 答 : 甲走了 24.5 步 , 乙走了 10.5 步 . B 7x-10 甲 : P74 习题 ? 1. 有这样一道阿拉伯古算题 : 有两笔钱 , 一多一少 , 其 和等于 20, 积等 96, 多的一笔被许诺赏给赛义德 , 那么赛 义德得到多少钱 ? 解 : 设赛义德得到的钱数为 x , 根据题意 , 得 x ( 20 ? x ) ? 96 . 整理得 : ? x ? 20 x ? 96 ? 0 . 解这个方程 , 得 ? x 1 ? 12 ; x