与切线有关的问题.docx

与切线有关的问题 一如何判断一条直线是圆的切线 当直线与圆有公共点（即事实上存在，公共点是已知的或隐含的） ，要证明该直线是圆的切线，需要用：过 半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线； 当直线与圆没有公共点 （即题目中没有说明或隐含条件中也没有 告知公共点），要证明该直线是圆的切线，需要用：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线?即当已知直 线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直 线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径，此情形下题目中一 般会存在一条已知切线. 1.当直线与圆有公共点（即事实上存在，公共点是已知的或隐含的） ，要证明该直线是圆的切线，需要用： 过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线； 即当已知直线过圆上一点， 要证明它是圆的切线， 则要连接圆 心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可 （1）已知：如图， AB为O O的直径，/ AB4 45°, AT= AB,求证：AT与O O相切. 分析：很显然点A是直径AB的一个端点，也是半径OA的外端点，所以此题应该用过半径的外端点且垂直于 半径的直线是圆的切线来证明； 由等腰三角形的性质得出/ T=Z ABT= 45°,由三角形内角和定理得出/ BAT= 90°, 即AT丄AB即可得出结论. 证明：I/ ABT= 45°, AT= AB,「./ T=Z ABT= 45°,a/ BAT= 90°, 即 卩 AT 丄 AB,v AB 为O O 的直径，二 AT 与O O相切. （2）如图，在等腰三角形 ABC中，AB= AC O为AB上一点，以 O为圆心、OB长为半径的圆交 BC于D, DE 丄AC交AC于E.求证：DE是O O的切线. 分析：很显然点 D是圆上一点，连接 OD则D是半径OD的外端点，所以此题应该用过半径的外端点且垂直 于半径的直线是圆的切线来证明；连 OD由OB= OD AB= AC可得到/ ODB=/ C,即OD/ AC,而DEI AC,即可 得到ODL DE从而得到 DE是O O的切线. 证明：连接 OD 如图，贝U OB= ODOBD=/ ODB 又T AB= AC, a / OBD=Z C.a/ ODB=/ C, a OD/ AC.又 T DEL AC, a ODL DE a DE是O O 的切线. （3）如图，已知在△ ABC中，/ ACB= 90° , BC是O O的直径，AB交O O于D, E是C上一点.若 E是AC的中 点，贝U DE是O O的切线，为什么？ 分析：（1 ）很显然点D是圆上一点，连接 OD则D是半径OD的外端点，此题应该用过半径的外端点且垂直 于半径的直线是圆的切线来证明；连接 CD根据圆周角定理得到/ BDC= 90° ,根据等腰三角形的性质得到/ ODE =90° ,于是得到结论； 解：DE是OO的切线.理由：连接CD, t BC是O O的直径，a/ BDC= 90° , a / CDA= 90° , t E是AC的中点， a CE= DE, a / DCE=/ CDE t OD= OC a / OCD=/ ODC a / ODC/ CDE=/ OCD/ DCE= 90° , a / ODE= 90° , a ODL DE, a DE是O O 的切线； （4）如图，O D交y轴于A、B,交x轴于C,过点C的直线「 ? ?与y轴交于P, D点坐标（0, 1）, 求证：PC是O D的切线. 分析：已知直线 . 交于x轴于点C,交y轴于P,易得点C, P的坐标，然后根据勾股定理求出 PC, DC的长?最后根据勾股定理推出 PC是O D的切线. 证明：???直线y=-2V5s-8交于X轴于点C,交y轴于P,.??点C, P坐标分别为（吨逅，°）, （0, - 8）. a OC=|a：：：；9P= 又???/ COP= 900,a pC= oC+oP,a PC= 一：或 .又??? . v 0,.??舍去?点 D 坐标 为（0, 1）, a DO= 1.又T 00=2近，/ DOC= 900, a DC= dO+oC= 9. a DC= 3 或-3 .又t- 3 v 0, a 舍去.又 DO= 1OP= 8,a DP= 9.又t DP= 81 = 72+9 = pC+dC, a/ DCP= 90°.即卩 PC是O D的切线. （5）如图，△ ABC内接于O O, AD平分/ BAC交直线 BC于点E,交O O于点D.过点D作I // BC,求证：I 是O O切线; 分析：连接 OD 分析：连接 OD根据角平分线求出/ L直线l，根据切线的判定推出即可; 证明：(1)连接 OD t AD 平分/ BAC A/ BAD=Z