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对信号和系统进行分析,可以有时域分析(卷积和、差分方程)、复频 域分析(Z变换)、频域分析(离散傅里叶变换)。下面我们来学习复频域分 析。z变换类似于连续系统屮的拉氏变换,它在离散时间系统屮的作用就如 同拉斯变换在连续时间系统屮的作用一样,它把描述离散系统的茅分方程转 化为简单的代数方稈,使其求解大大简化。因而对求解离散时间系统而言, z变换是一个极其重要的数学工具。z变换的概念可以从理想抽样数据信号 的拉普拉斯变换引出。也可以独立地对离散时间信号(序列)给定z变换定义。
木章主要分以下几大方面进行讨论:
z变换定义式的引入;
Z变换的收敛域;
Z反变换;
Z变换的基木性质和定理;
z变换、拉普拉斯变换、傅里叶变换的相互关系,序列的傅里叶 变换;
离散系统的系统函数,系统的频率响应,因果稳定系统。
2.1 Z变换的定义与收敛域
若序列为x(n),幕级数称为序列x(n)的z变换,其屮z为变量。亦可将
00
x(n)的z变换表示为X(z)=工兀(〃)厂。我们知道是一幕级数,只有收敛 时z变换才有意义。也就是要求l0Oo因此我们必须讨论z变换的 收敛问题。X⑵是否收敛,决定于z, X⑵能够收敛的z的取值集合称为z 变换X⑵的收敛域,也即只有z在收敛域内取值上述z变换才有意义。因为 Z是一个复变量,假设z=zl能使X(z)收敛,则lzl=lzll±的点都能使X⑵收 敛。这样,在分析收敛域Z前,有个大致印彖,即收敛域一定是屮心在原点 的圆环或圆。
例1 x(n) = a,lu(n) o X⑵二 一 ,1 z 11 a I,在z平面上画出零
1 一 QZ
极点图。指出:收敛域与极点有关;指出右边序列和因果序列的概念;注意 这种序列收敛域的形式。
例2
8 7
兀(”)= —aS(T2 —1)0 X⑵=1 一工⑺七)做和例
n=0 z~a
1同样的分析。比较例1和例2, X⑵的表达式和零极点是一样的,但两个 序列是不同的。说明对于一个给定序列的z变换,要求同时提供z变换的表 达式和收敛域。
例3
X(?) = (― A心)-(:)m)o X ⑵=——+ ——,: Vl z V
TOC \o 1-5 \h \z 2 .1-1 1 I -I 3 2
1 — z 1 — Z
3 2
分析该序列的形式,曲零极点图。
例4
“ H) I 八/ 一
x{n) = a R N (n) o X(z)= = ,因
zN Z - a
为是有限项,所以只要Id厂丨有限即可,是系数,是有限,这样只需z不
等于零就是有限。所以收敛域为除原点外的整个Z平面。曲出零极点图。
不同的x(n)对应不同的z变换收敛域,根据以上的分析,下面我们直接 给出不同形式的序列所对应的z变换收敛域。
表:序列的形式与双边变换收敛域的关系左边序列1、nl=-oo2、nl=-co n2=0fllQRx2 | z|
表:序列的形式与双边变换收敛域的关系
左边序列1、nl=-oo
2、nl=-co n2=0
fllQ
Rx2 | z|
Rx2 | z| RyI例5 X(z) = ——. ,讨论X(z)收敛域的形式及其对应序
Rx2 | z| RyI
(1 _*-)([ —2厂)
列的种类。
两个极点:2和1/3,对应三种情况:lzl2因果序列;lzlvl/3,左边序列;
l/3lzl2,双边。
结论:在有限z平面内没有极点时,是有限长序列;反Z是无限长序列。
2.2 z反变换
根据X⑵和收敛域来确定x(n),就是求z反变换。求z反变换的方法通 常有三种:围线积分法(留数法),幕级数展开法(长除法)及部分分式展开法, 也有一些不正统的方法。
观察法 记住常用序列的z变换。要求记住:如
? l,w(n) = — - , anu(n) =—-— ,
z-l z-a
-a1 u{-n 一 1) o 1一 ,1 z Ivl a 丨。见书上 54 页表。
\-az~x
部分分式法:前面对一些常用序列的z变换记住了,就可以将X(z)表示 成简单项之和的形式,而其屮的每一项都可以杳表。如果都是单阶极点 时,写出分解式。求出系数即可。多阶极点复杂些。
例1书上55页例2-7
例 2 X(z) =1 + 2厂+厂2 2
例 2 X(z) =
1 + 2厂+厂
2 2
1 + 2宀厂(1_*一)(1_厂)
Jzll
9 8 1
X(z) = 2 + o 2MS) -9(—)S(n) + 8i/(a7)
l_lr? 2
2、
?幕级数展开法:因为
QC
X(z)二工兀(刃)z = ? ? ? + x(—l)z + x(0)z° + x(l)z 1 + …,
将Z前面的系数提岀来纽?成的序列即为序列x(n)o
例 X(z) = z2(1 - - z-1 )(1 + z-1 )(1 - ),只有在 z
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