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对一个不等式的深入思考 问题在Z\ABC屮，角A、B、C的对边分別为a、b、c,若A+CW2B ,求证 a4+c4^2b4 这是《数学教学》2001年第6期问题栏的一道新题,属于陕西安振平编拟,原刊的证法如下: 证明 VA+C=n-B^2B , ???BP jt/3, cosBWl/2 . 由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accosB a2+c2-ac? 即 a+cWb+ac ,于是 a4+c4=(a2+c2)2-2a2c2 =A4 +2acb^ -a电 = -(?;-*a)，4-264 S26* 点评 本题好在条件与结论均是不等式，山不等产生不等在课內是一个空白，而在课外也较为少见。 思考1我们的深入思考是：从次数方向探索，对自然数n,此题有无推广的新题呢？ 推广1在Z\ABC屮，角A、B、C的对边分別为a、b、c,若A+CW2B ,求证： 对于lWnW4(nWN),不等式an+cn^2bn均成立； 对于n4(nEN),不等式an+cn^2bn不能成立。 证明 (1)山原不等式a4+c4^2b4的证明过程易知,其等号当且仅当cosB=l/2, b2=ac ,即a=b=c时成立。 山此得 (a2+c2)2^2(a4+c4)^2 ? 2b4, 即有 a2+c2^2b2； 同理可证:a+cW2b . 这就证明了 21，2的情形，接下來论证*3的情形。事实上 ■ a 4-c* + Ma 4-ote1 + tfV:* -(a4 + c*)(?1 + i26*-2*J -4A* 即有 a3+c3^2b3 . 当n4 (nGN)时，特収，则有这说明此时an 当n4 (nGN)时，特収 ，则有 这说明此时an+cn^2bn不能成立。 综合以上对知，所捉出的问题获证。 思考2至此 我们的思绪还是相当肤浅的.因为我们仅仅知道当指数1, 2, 3, 4时所提不等式成立, 的情形。接下來考虑 的情形。 推广2在Z\ABC中，角A、B、C的对边分別为a、b、c,若A+CW2B ,且当 2 3 4时，则有 an+cn^2bn. 证明应用算朮儿何平均值不等式和上文的结论a+cW2b ,得 詁（2+6）= 2 I 即有逅+墟 I 1 Jt = —f— 同理可证 2 3的情形。 综上所提问题得证。 思考3从以上n的离散值，我们不难想到，对满足0VnW4的一切实数n值，是否有同样的不等式成立呢? 推广3在A ABC中，角A、B、C的对边分別为a、b、c,若A+CW2B，且当0 nW4时，则有 an+cn^2bn. 证明（I）先证n为有理数的恬形。 山于前文己证1,2,3,4的恬形，因此只需证明满足0VnV4的一切非整有理数的情形。 不妨设n=q/p ,其屮（p,q为互质的正整数，pl且q4p ）,则对于任意的正整数q=4u+ije {0J,253）， 可记 q=4u+3v+2x+y ,使之满足 v,x、yW {0,1},且 v+x+y= I 或 0。所以，由 q4p ,可得 z=p-（u+v+x+y） 20。 111 p元均值不等式可得 石=何啡）型*）:閒*）型圈;◎即 同理,G） 同理, G）■弼琲炉1（舒吨“分同 C（Z.Y ^2 两式相加，山f 2丿 对自然数m= 123,4均成立,得 (?) #(目 M 丄十知42卄?+2x)=2 （2）再证n为无理数的情形。 对于满足0nW4的任意无理数n ,必存在有理数列心订，使得0如冬4 爲咐七{沪（厂 因为对于毎个纵，均有 O M2