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对正态分布问题思考、解答…“感受数形结合的完美
很长时间以来,几乎没见正态分布题目的身影,但2007年高考中,它却在全国II卷及 几个省市卷屮突然亮相。原木简简单单的题目却让众生无从下手,这不得不引起我们对这方 面知识思考、重视。在此略谈一下相关知识及有关题目的解题方法与技巧。
㈠知识点回顾:
⑴、正态分布概念:若连续型随机变量§的概率密度函数为
1 一 D
e 2a2 w(_oo,+oo),
J27TCT
其屮6“为常数,且<7>0,则称g服从正态分布,简记为呂?N(“,cH)。
/(尢)的图彖称为正态曲线。
⑵、正态分布的期望与方差
若g?N(“),则 Eg = p、Dg = F
⑶、正态曲线的性质:
⑷、在标准正态分布表屮相应于心的值①(勺)是指总体取值小于勺的概率。
即①(x
即①(x0) = P(xx0)
如0
⑸两个重要公式:①①(石))=1 -①(-X()),②P(兀]<乳2)=①(勺)-①(乳|)
X兀2
X
兀2
①
/ \
兀 2 -“、
―①
( \
b 丿
)
①若g ?N (“,/),则〃=匚£ ?“ (°」),有 P(^x0) = F(x0) =①
②若 g ?N(“q2),则 P (A*! X X2 )=
㈡07高考题再现:
(07安徽卷,10)以①(兀)表示标准正态总体在区间(-co,x)内取值的概率,若随机变量歹
服从正态分布N(“,/),贝ij概率P(g-〃|vb)等于()
D. 2①(“ + b)A?①(“ + b)— ①(“一CF) B?①(1) 一①(一1)
D. 2①(“ + b)
解析:考查N(“,b2)与N((),l)的关系:
若$~(“,决),则 xx
若$~(“,决),则 xx2)二①
/ \
一①
/ \
1 ”丿
J b丿
解:P(上-“1)
=P(“-cr vg v“ + cr)
-cD
/ 、
1 C丿
o丿
二①(1)-(D(-1) 答案为B
(07全国卷II,14):在某项测量屮,测量结果了服从正态分布川1。2)(70).若§在
(0,1)内取值的概率为0.4,则E在(0,2)内
解法一:?弋?N (1,72)
...p(0 歹 1)=①(巴=
=0)(0)-①
IT
-0.5=0.4
??嗨冷
=0)丄)_(1)
=2①]丄]—1=0.8 lb丿
解法二:因为曲线的对称轴是直线x = l ,所以由图知在(0,2)内取值的概率为0.8
(07湖南卷,5)设随机变量g服从标准正态分布N((),l)已知①(-1.96)= 0.025,
则 P侗 vl.96)
C. 0.950
D. 0.975
A. 0.025
B. 0.050
解法一:???$?N((),l)
(#|vl.96) = P(-1.96^1.96) =0)(1.96) _ ①(-1.96)
= 1-20(-1.96)
=0.950
解法二:因为曲线的对称轴是直线20,所以由图知
P(^1.96)=P(^-1.96)=①(-1.96)= 0.025
A P(|^| 1.96)= 1-0.25-0.25=0.950 故答案为:C
(07浙江卷,5)
已知随机变量服从标准正态分布N(2q?), P(^4)= 0.84
则P (驚0)=
C. 0.68
D. 0.84
A. 0.16
B. 0.32
- | = 0.84 ?丿
.-.P(^0)= F(0)= ?l—
=P --1 = 1-①-1 = 0.16 c
所以由图他1
所以由图他
1D. -~P
解法二:因为曲线的对称轴是直线x = 2 ,
P(^0)= P(^4)= l-P(^4)=0.16,
故答案为:A
练习1、设随机变量g服从标准正态分布N(O,1),若P(§1) = 则 P(-1歹0)= ( ) A. £ B. l-p C. \-2p
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