数列的极限经典习题.docxVIP

5. PAGE 5. PAGE # PAGE PAGE # Chapl数列的极限 1.设 Xn ? 0 n =1,2,1H 及 lim xn 二 a ,用；-N 语言,证明：|im_ Xn 证xn 0 , a _ 0. (1)当a =0 (1)当a =0时，那么lim xn n_sc =0 ,下证 lim . Xn = 0. n_sc * -；0 ,贝U存在N ? 0, 当 n N 时,0 ：： xn =Xn —0 -0 lim . x； -0 n—? (2)当 a 0时 (2)当 a 0时,- ；0, 存在N 0,当n ? N时, ：：：、a ；. Xn a Xn「a :: Xn a 、、a 综上两方面，即证. 2.已知 lim xn = a,用 - N 语言,证明：lim ? |3 Xn此即 lim ? |3 Xn此即 lim3 Xn =0 (2)当a=0时，因为 0. 2 I - n^C 弋 当a =0 当a =0时，那么lim xn =0 ■ 0,存在 N 0, =3 a . =3 a . 2 2 3 Xn . 3 Xn 3 a . 3 a Xn —a -询= 2 2 3.（算术平均收敛公式）设lim xn二a .令；=X1 x2川 人,求证:lim a. 3. nY n nY 证法1 证法1 .lim X1 X2Xn n匸: (X1 +X2 +川+ Xn ) — (X1 +X2 + +Xn_1 =lim n y - =lim xn = a .n y : 证法2由 证法2 由 lim x^a , n t: 则-；? 0 ,存在N1 0,使当n ?弘时,有 Xn] Xi X2 III Xn -a兰丄（％ n 一 a| + 川+卜汕—a（ +（ XNi i -a 川 Xn -a 令 C = Xi -31 +|(| + 那么 Xi X2 III Xn 丿c丄n 一2 名 -a s—十 — n n 2 4. 亠亠 C 3 存在N2 0 ,使当n ? N2时，有 . n 2 再令 N 二 max N「N2 ?,故当 n N 时, Xi X2 H I Xn lim n“imX1 X2 川x.a. n ? n n 由①，②有 （几何平均收敛公式）设xn?0n =1,2,川.且lim xn = a .证明: n—SC lim n x1xJI(Xn = a . 证 ：limxn 二 a, limln xn = l na. n ? n ] - n— - 再由算术平均收敛公式可知 1lnx1 血勺 FlnXn limn x-iX^ Hlxn =lim.en e 二a. 证明：lim. 其中a 1. 证令a1n -1 =〉，则〉0,依伯努利不等式，有 a =(1 +ct『釘 + n 口 =1 + n( a『n T ), PAGE PAGE # a1n—仁口 6. 7. 8. 要 |n a -1 a -1 = an—1兰j只要.所以，有nn 即 |n a -1 n ? N时，就有 证明： 若lim an = a,n_ac 证由题设lim an n— 从而当n ? N时总有 所以 ,则当 □.取N 则 lim an n_^Qi =a.当且仅当a为何值时逆命题也成立. =a ,知- ? 0, TN?0,当n ? N时，皆有 an 当且仅当a =0时,逆命题也成立. an lim a n l : -a z . 设a R,且a 1,用；-N语言,证明： 证当n _2时，有 an-a z, 要使 只需 即若取 n n-1 a-1「2 n-1 a-「 -（由二项展开式得） 2 （n -忙一1） ? 2 ,则当n ? N时，就有 n 所以nm^。.数列^n —,a 1, R是无穷小序列. 利用单调有界性证明：设X1 = a-0, y1二b-0,且人?1=、人％, xn xn = lim yn. n 厂 n yn 1 Xn yn . n ^1,2J|l .则 lim 2 * r* ■- 证 Xn _ 0 , yn -0是显然的.由 Yn 1 二 Xn ￡ * _ ■.灯7 = Xn 1 , Xn 1 =_、、XpXp = Xn , yn十宁岂宁二yn . 知^x/f单调增加，「yn ?单调减少，又 Xn — yn — yi, yn — Xn — Xi , 所以：xn ，:yn f有界.即 lim xn = A, lim yn = B 存在. n^^ n—诈 宁两边取极限,得 If9.证明：数列 1限. If 9.证明：数列 1 限. 记 xn = 1 1 B A ■ B = A = B . 单调增加，数列 1 - j 2心 单调减少，两者收敛于同一极 ~I~ J n (1 ，yn 二 1 - \、 n n 1,由平均值不