平行四边形常用的证明方法.docxVIP

平行四边形常用的证明方法 一利用平行四边形的相关定理证明 1.(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形 例题：已知在四边形 ABCD中 , / A=/ C, / B=/ D.求证：四边形 ABCD是平行四边形 证明：v/ A=/ C, / B=/ D,又v/ A+/ C+/ B+/ D=360° , ?/ A+/ B=/ C+/ D=18C° , ? AB// CD, AD// BC ?四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 例题：如图， 口ABCD中 ,点E、F分别在边BC和 AD上 ,且/ BAEK DCF求证：四边形 AECF是平行四边形 证明：???四边形 ABCD是平行四边形，?/ B=/ D, AB=CD AD=BC又v/ BAE=/ DCF, BAE^A DCF, 证明：???四边形 ABCD是平行四边形，?/ B=/ D, AB=CD AD=BC又v/ BAE=/ DCF, BAE^A DCF, ? AE=CF,BE=DF, v AD=BC, ? AF=EC, ?四边形 AECF是平行四边形 (3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形 例题：如图，在 口 ABCD中 ,点E、F分别在CD 行四边形 AFCE是平 证明：v 四边形 ABCD是平行四边形，?/ ADC/ ABC / BAD=Z DCB ?/ ADEN CBF,「. AE=AD,CF=CB「/ EAD=/ ADE,/ CBF=Z FCB v/ ADC/ ABC ?/ EAD玄 BCF, ?/ EAD+/ BAD玄 BCF+/ DCB 即/ EAF=/ ECF, v / EAD=/ BCF / EAD/ ADE,/ CBF=Z FCB ?/ EAD=Z ADE玄 CBF玄 FCB ?/ E=/ F , ?四边形 AFCE是平行四 边形 (4 )两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 例题：如图，DAECF的对角线交于点 O, DB经过点0,分别与 行四边形 ABCD是平 证明：v 四边形 AECF是平行四边形，? A0=C0/ FCA=Z CAE v/ DOC/ AOB ?△ AOB^A COD ?- DO=B0 ?四边形ABCD是平行四边形 (5 )一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 例题：如图， □ABCD中 , AM=(2/3) AB, CN= (2/3) CD.求证：四边形 AMC!是平行四形 证明：v 四边形 ABCD是平行四边形，? AB// CD AB=CD v AM=( 2/ 3) AB, CN=(2/3) CD, ? AM// CN, AM =CN ?四边形 AMCN!平行四形 2.(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形 例题：如图，在厶 ABC中，AB=AC D为BC中点，四边形 ABDE是平行四边形，求证：四边形 ADCE是矩形 证明：??? AB=AC D为 BC中点，??? ADL BC, BD=DC：四边形 ABDE是平行四边形，二 AE=BQ AE// BD, ?/ A、 D、C在一条直线上,? AE=CD AE/ CD ?四边形 ADCE是平行四边形,v/ ADC=90, ?四边形 ADCE是矩形 0 0 (2)有三个角是直角的四边形是矩形 例题：如图，BD, BE分别是/ ABC与它的邻补角/ ABP的平分线.AE± BE AD丄BD, E, D为垂足，求证：四 边形AEBD是矩形 证明：??? BD, BE分别是/ ABC与它的邻补角/ ABP的平分线，二/ 0.5 / ABC T/ ABP+Z ABC=90,「./ ABE亡 ABD2 PBE+Z DBC=0.5X 180°,.?./ EBD=90,t AE丄 BE ADL BD,「. / AEB=9(f,Z ADB=9(5,aZ EBDZ AEB=Z ADB=9(5,a 四边形 AEBD是矩形, 对角线相等的平行四边形是矩形 例题：如图，DABCD的对角线AC BD相交于点O, △ OAB是等边三角形，求证：四边形 ABCD是矩形 证明：???△ OAB是等边三角形，??? OA=OB：四边形 ABCD是平行四边形，二 OA=OC OB=OD二AO=OB=OC=OD ??? AC=BD ?四边形 ABCD是矩形 3.(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形 例题：如图，在△ ABC中，AB= BC, D、E、F分别为BC AC AB边的中点。求证：四边形 BDEF是菱形 5 B C 证明：?/ D E、F 分别为 BC AC AB边的中点，? AF=BF, AE=CF BD=CD ?- EF// BD, ED// BF, ?四边形 BDEF 是平行四边形，??? AB= BC, ? BF=BD ?四边形BDEF是菱形 (2)四条边都