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PAGE PAGE 1 数形结合之系数探究 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，此称之为数形结合。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。因此著名数学家华罗庚总结说：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。” 数形结合是数学中的一种重要方法。我们仅仅是将系数作了简单的转换，就能发现一些新东西。而这些公式的转化，也常常是考试的要点。这也启示我们，同一样东西，从不同角度去看，可以看得更全面一些。 有些人认为：小学学算术，初中学代数和平面几何；高中学解析几何，则是将数和形结合起来了。我们不这么认为。数形结合应该从小学就开始培养。 要想掌握数形结合这一数学思想方法，没有太多捷径，只能平时多积累案例，多总结。本章给出一些有代表性的例子，是在一些简单案例基础上的加深，请读者朋友多体会。 例1:计算. 常见的作法是先作出图1，此处一个小方块代表数1，然后再作一个完全一样的图形“扣”在这个图形上面，就好像图2那样，则根据面积的计算公式可得，即。这一过程在数学上叫做倒序相加。 在生活中也有类似的做法，譬如把10个苹果分给5个人，而苹果有大有小的，要想做到尽可能平均分配，那么分配时肯定要注意大小搭配，那个最大的苹果肯定要搭配那个最小的苹果。原因很简单，如果甲拿最大的但又不拿最小的，则必然有一个人拿最小的却拿不到最大的，相对甲而言，此人吃亏太多，肯定不愿意。 图1 图2 图3 有人画好图1之后，嫌再画图2很麻烦，希望能够简化。其实这也是可以做到的。如图3所示，你只要在图1上加一条直线就是了。此时。 仔细比较这两种作法，我们发现图2和图3虽然差别很大，但若从计算公式分析，则仅仅是系数作了一些分配、结合的小动作而已。既可以重组为，也可以重组为。这也许就是数学中的文字游戏吧！不过你可别小瞧它，用处大着呢。 联系第5章割补法，如果只用割就能解决问题，那么何必多此一举，还要补一块呢？ 例2: 三角形面积公式. 三角形面积公式就有三种不同的表达方式：，与图4～图7一一对应，看似是乘法交换律、结合律的简单运用，但和图像结合起来了就很值得重视了。 图4 图5 图6 图7 例3: 梯形面积公式. 梯形面积公式，既可以以腰上中点为旋转中心，旋转后和原来的梯形拼成一个平行四边形（图8）。若嫌这样作图比较麻烦，可直接作对角线，将梯形面积转化成两个三角形面积（图9）。 图有问题 图8 图9 例4:多边形内角和公式. 多边形内角和公式，与图10～图12一一对应，其几何意义是显然的。 注意：此问题中没有出现面积。将之置于此处，是为了说明，本章研究数形结合将系数作变换绝不局限于面积问题。读者可以作更多的尝试。 图10 图11 图12 例5:平方差公式. 平方差公式，与图13～图16一一对应，其几何意义是显然的。 图13 图14 图15 图16 三种图形构造比较,图14既需平移，还需旋转；图16构造巧妙,对称性最强,但分解块数最多,较复杂；图15则比较简单,无需动脑筋构造,只需从联想到大正方形减去小正方形即可,容易作图,且较美观。 这种系数转化的方法，不但可以用来证明公式，还可以引导公式推导。 例6:一元二次方程的求根公式面积法推导 在学习了形如 的一元二次方程解法之后，将学习更一般的一元二次方程。应该如何过渡呢？ 回忆以前学过的解方程的基本原则：分离变量法，也就是尽量想办法把已知数和未知数分离。具体怎么做？ 思路1：把中的c移到方程右边，将方程转化为，因为c和未知数x一点关系也没有！ 思路2：把方程中的a“除去”，将方程转化为。理由是a和未知数x联系最紧密，“受苦最深，首先应该把它解脱出来”！ 当然，也可以一次到位，把方程转化为！接下来需要集中精力对付。联想平方和公式的几何图形表示（图17），既然可以把看作是以x为边的正方形面积，那么也就可以把看作是下面这样的图形（图18）：