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数形结合之系数探究
数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化,此称之为数形结合。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的。因此著名数学家华罗庚总结说:“数形结合百般好,隔裂分家万事非。”
数形结合是数学中的一种重要方法。我们仅仅是将系数作了简单的转换,就能发现一些新东西。而这些公式的转化,也常常是考试的要点。这也启示我们,同一样东西,从不同角度去看,可以看得更全面一些。
有些人认为:小学学算术,初中学代数和平面几何;高中学解析几何,则是将数和形结合起来了。我们不这么认为。数形结合应该从小学就开始培养。
要想掌握数形结合这一数学思想方法,没有太多捷径,只能平时多积累案例,多总结。本章给出一些有代表性的例子,是在一些简单案例基础上的加深,请读者朋友多体会。
例1:计算.
常见的作法是先作出图1,此处一个小方块代表数1,然后再作一个完全一样的图形“扣”在这个图形上面,就好像图2那样,则根据面积的计算公式可得,即。这一过程在数学上叫做倒序相加。
在生活中也有类似的做法,譬如把10个苹果分给5个人,而苹果有大有小的,要想做到尽可能平均分配,那么分配时肯定要注意大小搭配,那个最大的苹果肯定要搭配那个最小的苹果。原因很简单,如果甲拿最大的但又不拿最小的,则必然有一个人拿最小的却拿不到最大的,相对甲而言,此人吃亏太多,肯定不愿意。
图1 图2 图3
有人画好图1之后,嫌再画图2很麻烦,希望能够简化。其实这也是可以做到的。如图3所示,你只要在图1上加一条直线就是了。此时。
仔细比较这两种作法,我们发现图2和图3虽然差别很大,但若从计算公式分析,则仅仅是系数作了一些分配、结合的小动作而已。既可以重组为,也可以重组为。这也许就是数学中的文字游戏吧!不过你可别小瞧它,用处大着呢。
联系第5章割补法,如果只用割就能解决问题,那么何必多此一举,还要补一块呢?
例2: 三角形面积公式.
三角形面积公式就有三种不同的表达方式:,与图4~图7一一对应,看似是乘法交换律、结合律的简单运用,但和图像结合起来了就很值得重视了。
图4 图5
图6 图7
例3: 梯形面积公式.
梯形面积公式,既可以以腰上中点为旋转中心,旋转后和原来的梯形拼成一个平行四边形(图8)。若嫌这样作图比较麻烦,可直接作对角线,将梯形面积转化成两个三角形面积(图9)。
图有问题
图8 图9
例4:多边形内角和公式.
多边形内角和公式,与图10~图12一一对应,其几何意义是显然的。
注意:此问题中没有出现面积。将之置于此处,是为了说明,本章研究数形结合将系数作变换绝不局限于面积问题。读者可以作更多的尝试。
图10 图11 图12
例5:平方差公式.
平方差公式,与图13~图16一一对应,其几何意义是显然的。
图13 图14 图15
图16
三种图形构造比较,图14既需平移,还需旋转;图16构造巧妙,对称性最强,但分解块数最多,较复杂;图15则比较简单,无需动脑筋构造,只需从联想到大正方形减去小正方形即可,容易作图,且较美观。
这种系数转化的方法,不但可以用来证明公式,还可以引导公式推导。
例6:一元二次方程的求根公式面积法推导
在学习了形如 的一元二次方程解法之后,将学习更一般的一元二次方程。应该如何过渡呢?
回忆以前学过的解方程的基本原则:分离变量法,也就是尽量想办法把已知数和未知数分离。具体怎么做?
思路1:把中的c移到方程右边,将方程转化为,因为c和未知数x一点关系也没有!
思路2:把方程中的a“除去”,将方程转化为。理由是a和未知数x联系最紧密,“受苦最深,首先应该把它解脱出来”!
当然,也可以一次到位,把方程转化为!接下来需要集中精力对付。联想平方和公式的几何图形表示(图17),既然可以把看作是以x为边的正方形面积,那么也就可以把看作是下面这样的图形(图18):
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