2021-2021年高中常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题17 异面直线所成的角的求法.docxVIP

第17讲：异面直线所成的角的求法 【考纲要求】 能用向量方法解决直线与直线的夹角的计算问题。 【基础知识】 一、异面直线的定义 的方向向量。 四、求异面直线所成的角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识解答。 五、温馨提示 如果你解三角形得到的角 SKIPIF 1 0 的余弦是一个负值，如 SKIPIF 1 0 ，你不能说两条异面直线所成的角为 SKIPIF 1 0 ，你应该说两条异面直线所成的角为 SKIPIF 1 0 ，因为两条异面直线所成的角的范围为 SKIPIF 1 0 。 例1 在正四棱柱中，，为 SKIPIF 1 0 的中点． P（1）求直线AC与平面ABP所成的角； P （2）求异面直线AC与BP所成的角； （3）求点B到平面APC的距离． 解： 解 （1）∵AB⊥平面BC1，PC平面BC1，∴AB⊥PC 在矩形BCC1B1 中，BC=2，BB1=1，P为B1C1的中点，∴PC⊥PB ∴PC⊥平面ABP，∴∠CAP为直线AC与平面ABP所成的角 ∵PC=，AC=，∴在Rt△APC中，∠CAP=300 ∴直线AC与平面ABP所成的角为300 （2）取A1D1中点Q，连结AQ、CQ，在正四棱柱中，有AQ∥BP， ∴∠CAQ为异面直线AC与BP所成的角 【变式演练1】已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2 (1)求PC的长； (2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小； (3)求证：二面角B—PC—D为直二面角. 例2 如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD. （1）求二面角B-AD-F的大小； （2）求直线BD与EF所成的角的余弦值. 解 （1）∵AD与两圆所在的平面均垂直， ∴AD⊥AB，AD⊥AF， 故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角. 依题意可知，四边形ABFC是正方形， ∴∠BAF=45°. 即二面角B—AD—F的大小为45°; （2）以O为原点，CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示）， 则O（0，0，0），A（0，-3 SKIPIF 1 0 ，0）， B（3 SKIPIF 1 0 ，0，0），D（0，-3 SKIPIF 1 0 ，8）， E（0，0，8），F（0，3 SKIPIF 1 0 ，0）， ∴ SKIPIF 1 0 =（-3 SKIPIF 1 0 ，-3 SKIPIF 1 0 ，8），  SKIPIF 1 0 =（0，3 SKIPIF 1 0 ，-8）. cos〈 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 〉= SKIPIF 1 0  设异面直线BD与EF所成角为 SKIPIF 1 0 ，则 cos SKIPIF 1 0 =|cos〈 SKIPIF 1 0 〉|= SKIPIF 1 0 . 即直线BD与EF所成的角的余弦值为 SKIPIF 1 0 . 【变式演练2】如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′对角线BD′上,∠PDA=60° (1)求DP与CC′所成角的大小;(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小. 【高考精选传真】 1.【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则直线 SKIPIF 1 0 与直线 SKIPIF 1 0 夹角的余弦值为（ ） A. SKIPIF 1 0 B. SKIPIF 1 0 C. SKIPIF 1 0 D. SKIPIF 1 0 2.【2012高考真题全国卷理16】三菱柱AB